§1.数理逻辑 MA

§1.数理逻辑 MA 

§1.1 逻辑

§1.2 集合

§1.1 逻辑

引入: 本书的语言, 就像大部分数学文献那样, 是由普通语言和一系列理论叙述专用符号构成的. 我们将按照需要引入这些专用符号

通用的数理逻辑符号

¬∧∨  ⟹    ⟺  \neg \quad \land \quad \lor \implies \iff¬∧∨⟹⟺﻿

约定优先级⟶Left to right\overset{Left \ to\  right}{\longrightarrow}⟶Left to right​﻿

在这样的约定下,若有如下表达式
¬A∧B∨C  ⟹  D\neg A \land B \lor C \implies D¬A∧B∨C⟹D﻿ 
解释成 
 (((¬A)∧B)∨C)  ⟹  D(((\neg A ) \land B ) \lor C ) \implies D(((¬A)∧B)∨C)⟹D﻿

A  ⟹  BA \implies B A⟹B﻿等价表述

A 蕴含B 集合论角度: 假定A  ⟹  BA\implies BA⟹B﻿命题为真, 则有 A⊂BA \subset BA⊂B﻿

若A, 则B(半命题引入)

注意我们只讨论了若A真,B为真的情况,而没有分析若A(前件为假的情况)

所以在A为假时候 语句若A, 则B无法判断真假并不是一个完整命题

证明中往往需要隐含 ”若A, 则B 若¬\neg¬﻿ A, 则B”中的下半句 或者 能保证A为真

命题证明

证明命题: 即证明命题A  ⟹  BA\implies BA⟹B﻿其中 A 是前提，B 是结
论.证明这个命题，就是建立一串蕴涵关系
A  ⟹  C1  ⟹  C2...  ⟹  BA\implies C_1 \implies C_2 ... \implies BA⟹C1​⟹C2​...⟹B﻿

推导法则

三段法: 如果 A 成立 且 A  ⟹  \implies⟹﻿B 也成立 , 则 B成立

排中率: 即不论命题 A 的具体内容如何, (A 或¬\neg ¬﻿A)总是成立的. 因此, 有 ¬¬A  ⟺  A\neg \neg A \iff A¬¬A⟺A﻿

如果我们没有逻辑体系, 究竟怎么建立数学分析呢

这里在本质上只讨论了记号，而没有分析逻辑推导体系，也没有涉及诸如真实性、可证明性、可推导性等构成数理逻辑研宄

用一则著名的寓言来说明：蜈蚣在解释它宄竟如何控制自己的全部那么多条腿的时候，连路都不会走了

蕴含关系(若..则..)的真值表

前件为假 导致 蕴含命题为真的本质, 是为了我们使用蕴含关系的

§1.2 集合

集合引入: 从 19 世纪末 20 世纪初开始，集合论语言成为最通用的数学语言.这甚至表现在数学的一种定义中：数学是研究集合上的各种结构（关系）的科学

朴素集合论(康托尔集合论)

集合可由任何有区别的对象组成  ⟺  \iff⟺﻿组成一个集合的对象称为该集合的元素

集合由其组成对象整体唯一确定；

何性质都确定一个具有该性质的对象的集合;

为何不是精确定义?: 因为它涉及可能比集合的概念本身更复杂(总之未曾定义过）的概念.这种描述的目的是通过建立与其他概念的联系来解释

集合的表达

如果x是一个对象, P是一种性质, P(x)表示具有x对象具有性质P

{x∣P(x)}\{x | P(x) \}{x∣P(x)}﻿ 表示具有性质 P 的整整一类对象

组成类或集合的对象称为类或集合的元素

集合的不完美性

集合的给定方法可能在明确程度上有所不同，这就让我们想到,集合己经不再是那种简单的完美无瑕的概念

罗素悖论

设M代表集合,P(M)表示性质: M不以其本身为元素 

设一个集合K={M | P(M)} 则要么 P(K)成立要么¬\neg¬﻿P(K) 成立

P(K)若真,因为由K的定义 K={M | P(M)} ,K满足P(K),是K中一个元素,矛盾

P(K)若假,表示这表示 K∈KK\in K K∈K﻿和K的定义矛盾

罗素悖论关键

构成悖论的基本要素是自我指涉与自我否定

什么是悖论？悖论不是那些错误的语句，而是那些没有办法赋值的语句

例子: 这句话是错的

集合间包含关系

何为关系: 涉及两个对象的命题→命题的一种形式

命题的等价形式: 关系、论断(恒为真的命题)

定义元素-集合属于关系: 命题 “x是集合 X的元素” := x∈Xx\in Xx∈X﻿

定义集合等价关系:

 直接基于属于关系: A=B:=∀x ((x∈A)  ⟺  (x∈B))A=B:= \forall x\ ( (x\in A) \iff (x \in B))A=B:=∀x ((x∈A)⟺(x∈B))﻿

基于集合间包含关系: A=B  ⟺  (A⊂B)∧(A⊃B)A=B \iff (A\subset B) \land  (A\supset B)A=B⟺(A⊂B)∧(A⊃B)﻿

同一命题的不同定义: 
((X:=A)∧(A  ⟺  B))  ⟺  ((X:=B)∧(A  ⟺  B))((X:=A)\land (A\iff B))\iff ((X:=B)\land (A\iff B))((X:=A)∧(A⟺B))⟺((X:=B)∧(A⟺B))﻿

集合间包含关系(子集关系)

基于元素-集合属于关系

A⊂B:=∀x ((x∈A)  ⟹  (x∈B))A\subset B := \forall x\  ((x\in A) \implies (x\in B))A⊂B:=∀x ((x∈A)⟹(x∈B))﻿

集合运算

何为集合运算: 

利用 属于关系 和 命题连词 来定义某个P(x)性质,把满足该性质的元素组成一个新的集合

何为性质: 具有变元的命题

往往是描述集合中元素x具有某种性质P(x),而性质P(x)又通过逻辑连词和属于关系确定

并集运算: A∪B:={x∈M∣(x∈A)∨(x∈B)}A \cup B := \{ x \in M | \left( x \in A \right) \lor \left( x \in B \right) \}A∪B:={x∈M∣(x∈A)∨(x∈B)}﻿

交集运算: A∩B:={x∈M∣(x∈A)∧(x∈B)}A \cap B := \{ x \in M | \left( x \in A \right) \land \left( x \in B \right) \}A∩B:={x∈M∣(x∈A)∧(x∈B)}﻿

差集运算: A\B or A−B:={x∈M∣(x∈A)∧(x∉B)}A \backslash B\  or\  A-B 
:= \{ x \in M | \left( x \in A \right) \land \left( x \notin B \right) \}A\B or A−B:={x∈M∣(x∈A)∧(x∈/B)}﻿

直积(也算一种集合运算)

有序偶-预先概念

无序偶定义: 对于任何两个集合A,B, 可以组成一个新的集合一偶{A,B}={B,A}, 其元素是且仅是集合A和B.这个集合在A≠B时由两个元素组成, 而在A=B时由一个元素组成

有序偶定义: (A,B)相较于无需偶元素A,B具有附加特征，从而能够区别偶(A,B)中的第一个元素和第二个元素

直积定义

X×Y:={(x,y)∣(x∈X)∧(y∈Y)}X \times Y := \{ \left( x , y \right) | \left( x \in X \right) \land \left( y \in Y \right) \}X×Y:={(x,y)∣(x∈X)∧(y∈Y)}﻿

当Y=XY=XY=X﻿时候可以简写为X2X^2X2﻿

§1.3 函数

(1) 函数概念

课本上的概念

其基础性非数学所独有, 设 XXX﻿ 与 YYY﻿ 是某两个集合. 如果集合X XX﻿ 的每一个元素xxx﻿, 都按照某规律 ff f﻿与集合 YYY﻿ 的元素 yy y﻿ 相对应，我们就说有一个函数，它定义于集合 XXX﻿ 并取值于集合 YYY﻿

我们说XXX﻿为其定义集合,元素 xxx﻿ 称为函数的变元或自变量

而与自变量 x0x_0x0​﻿ 相对应的元素 y0∈Yy_0 \in Yy0​∈Y﻿ 称为元素 x0x_0x0​﻿ 上的函数值. 表示为 f(x0)f(x_0)f(x0​)﻿

并可以定义值集合: f(X):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)) }⊂Yf(X):=\{\ y\in Y\ |\ \exists x(\ (x\in X)\wedge (y=f(x))\ \} \subset Yf(X):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)) }⊂Y﻿

函数的概念(自我思考)

函数的概念: 存在两个集合XXX﻿, YYY﻿ 使得, ∀x∈X, ∃!y∈Y, Let x and y correspond\forall x \in X, \ \exist! y \in Y,\text{ Let x and y correspond}∀x∈X, ∃!y∈Y, Let x and y correspond﻿ 

∃!\exist!∃!﻿ : 表述 ”唯一存在” , 即x1=x2  ⟹  f(x1)=f(x2)x_1= x_2 \implies f(x_1) = f(x_2)x1​=x2​⟹f(x1​)=f(x2​)﻿

我们称XXX﻿为函数的 “定义集合” (一类特殊的出发集合) 

我们称YYY﻿为函数的 “值集合”  (所有到达集合的父集合) 

f(X):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)) }⊂Yf(X):=\{\ y\in Y\ |\ \exists x(\ (x\in X)\wedge (y=f(x))\ \} \subset Yf(X):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)) }⊂Y﻿ 定义为 在定义集合XXX﻿下fff﻿函数的到达集合

函数的记号说明

函数的同义词或记号: 映射, 变换, 算子, 泛函

符号: 记作 f: X→ Yf:\ X\to \ Y f: X→ Y﻿ 或 X→f  YX\overset{f}{\mathop{\to }}\,\ YX→f Y﻿ 

定义域和值域从上下文看很明显时也使用 x  ↦  f(x)ory=f(x)x\; \mapsto \;f(x)\quad or\quad y = f(x)x↦f(x)ory=f(x)﻿ 

函数的延拓限制

 A⊂X  and  f:X→YA \subset X\;and\;f:X \to YA⊂Xandf:X→Y﻿ 且有 φ:A→Y\varphi :A \to Yφ:A→Y﻿  使得 ∀x∈A,  f(x)=φ(x)\forall x \in A,\;f(x) = \varphi (x)∀x∈A,f(x)=φ(x)﻿ 

则称 φ\varphiφ﻿ 为 fff﻿ 的限缩, fff﻿ 为 φ\varphiφ﻿ 的延拓

φ\varphiφ﻿ 也可记作 f∣Af|_Af∣A​﻿ 

像与原像

元素的像: 当函数 f: X→ Yf:\ X\to \ Yf: X→ Y﻿ , 我们称 y0y_0y0​﻿ 为 x0x_0x0​﻿ 的像

集合的像: 我们定义 f(A):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈A)∧(y=f(x)) }f(A):=\{\ y\in Y\ |\ \exists x(\ (x\in A)\wedge (y=f(x))\ \}f(A):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈A)∧(y=f(x)) }﻿ 为集合A的像

注意: 和值集合的定义几乎一摸一样, 但是我们的出发集合AAA﻿ 不在一定等于函数的的定义集合X 而是 A⊂XA\subset XA⊂X﻿

集合的原像:  f−1(B):={ x∈X ∣ f(x)∈B}f^{-1}(B):=\{\ x\in X\ |\ f(x) \in B \}f−1(B):={ x∈X ∣ f(x)∈B}﻿ 

注意: 这个是函数的原像的定义, 而非反函数的定义, 哪怕一个 x0x_0x0​﻿ 对应多个 y0y_0y0​﻿ 也是有原像的(非单射, 非满射)

(2) 满射/单射/双射

映射分类

引入: 引入像和原像概念后我们可以以此来分类映射

满射: 当集合X的像等价于Y即 f(X)=Yf(X)=Yf(X)=Y﻿ 

单射: 满足 f(x1)=f(x2)    ⟹    x1=x2f({x_1}) = f({x_2})\; \implies\;{x_1} = {x_2}f(x1​)=f(x2​)⟹x1​=x2​﻿ 

双射: 一个映射是满射且是单射的时候为双射

满射的等价表述

已知定义 f(X):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)) }⊂Yf(X):=\{\ y\in Y\ |\ \exists x(\ (x\in X)\wedge (y=f(x))\ \} \subset Yf(X):={ y∈Y ∣ ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)) }⊂Y﻿ 

且有 f(X)=Y={y∈Y}f(X) = Y = \{y \in Y \}f(X)=Y={y∈Y}﻿ 

则有后面的f(X)定义时候后面的选择条件恒定为真, 即
 ∀y∈Y we have ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)≡Ture\forall y\in Y\  \text{we have}\   \exists x(\ (x\in X)\wedge (y=f(x) \equiv Ture∀y∈Y we have ∃x( (x∈X)∧(y=f(x)≡Ture﻿ 

上述表述和函数的概念几乎一样,只是少了唯一性
 函数的概念: ∀x∈X, ∃!y∈Y, Let x and y correspond\forall x \in X, \ \exist! y \in Y,\text{ Let x and y correspond}∀x∈X, ∃!y∈Y, Let x and y correspond﻿ 

反函数定义

f−1:Y→Xf^{-1}:Y \rightarrow Xf−1:Y→X﻿ 的定义: 若 f(x)=yf(x)=yf(x)=y﻿ , 定义 f−1(y)=xf^{-1}(y)=x f−1(y)=x﻿ 

注意 反函数f−1:Y→X f^{-1}:Y \rightarrow Xf−1:Y→X﻿ 和 原像 f−1(Y)f^{-1}(Y)f−1(Y)﻿ 缩写都是f−1f^{-1}f−1﻿但是意思不同

反函数存在条件: 若双射   ⟺  \iff⟺﻿则存在 f−1:  Y→X{f^{ - 1}}:\;Y \to Xf−1:Y→X﻿ 

接下来我们验证: 若双射且上面定义,则符合函数规则

由于fff﻿为满射, 故 ∀y0∈Y, ∃x0∈X, let f(x0)=y0\forall y_0 \in Y ,\ \exist x_0 \in X,\ let \ f(x_0)=y_0∀y0​∈Y, ∃x0​∈X, let f(x0​)=y0​﻿

由于fff﻿为单射, f(x1)=f(x2)    ⟹    x1=x2f({x_1}) = f({x_2})\; \implies\;{x_1} = {x_2}f(x1​)=f(x2​)⟹x1​=x2​﻿ 

二者组合, 则有再加上反函数定义: ∀y0∈Y, ∃!x0∈X, let f−1(y0)=x0\forall y_0 \in Y ,\ \exist! x_0 \in X,\ let \ f^{-1}(y_0)=x_0∀y0​∈Y, ∃!x0​∈X, let f−1(y0​)=x0​﻿ 
和函数的概念形式上一致 

单射 满射 这个概念的意义

函数的概念由两个子命题组成

和单射 满射即满足

(3) 复合/恒等映射

复合映射: 

若有映射 f:X→Zg:Z→Yf:X \to Z\quad g:Z \to Yf:X→Zg:Z→Y﻿ 则可以构造映射
 f∙g:X→Y let f∙g(x):=f(g(x))f \bullet g:X \rightarrow Y \ \text{let}\ f\bullet g(x) := f(g(x)) f∙g:X→Y let f∙g(x):=f(g(x))﻿ 

并且我们将 f:X→Xf(x):=xf:X \to X\quad f(x):=xf:X→Xf(x):=x﻿ 定义为恒等映射 exe_xex​﻿ 

引理: 恒等映射和单射满射关系

定理内容

 设 f:X→Y g:Y→Xf:X\rightarrow Y\ g:Y\rightarrow Xf:X→Y g:Y→X﻿ 

 则 g∙f=ex  ⟹  g \bullet f = e_x \implies g∙f=ex​⟹﻿fff﻿ 为单射, ggg﻿ 为满射

证明1: ggg﻿为满射

定义A:=f(X)A:=f(X) A:=f(X)﻿方便后面的讨论, 即 (g∙f)(X)=g(f(X))=g(A)(g \bullet f)(X) = g(f(X)) = g(A) (g∙f)(X)=g(f(X))=g(A)﻿ 

由到达集合和总值集合关系 g(A)⊂g(Y)⊂Xg(A) \subset g(Y) \subset Xg(A)⊂g(Y)⊂X﻿ 

由于 (g∙f)(X)=ex(X)=X  ⟹  X⊂g(A)(g \bullet f)(X) =e_x(X) =X \implies X \subset g(A)(g∙f)(X)=ex​(X)=X⟹X⊂g(A)﻿ 

则有 X⊂g(A)=g∙f(X)⊂g(Y)⊂XX \subset g(A) = g \bullet f(X) \subset g(Y) \subset XX⊂g(A)=g∙f(X)⊂g(Y)⊂X﻿ 

可得 X⊂g(Y)⊂X  ⟹  g(Y)=XX\subset g(Y) \subset X\implies g(Y) =XX⊂g(Y)⊂X⟹g(Y)=X﻿ (满射的定义)

证明2: fff﻿为单射

由函数的概念可知: y1=y2  ⟹  g(y1)=g(y2) y_1 = y_2 \implies g(y_1) = g(y_2)y1​=y2​⟹g(y1​)=g(y2​)﻿ 

由题目可知: yn=f(xn)g(yn)=eX(xn)=xny_n = f(x_n) \quad g(y_n) = e_X(x_n) =x_nyn​=f(xn​)g(yn​)=eX​(xn​)=xn​﻿ 

替换(i)中 yn g(yn)y_n\ g(y_n)yn​ g(yn​)﻿ 可得  f(x1)=f(x2)  ⟹  x1=x2f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2f(x1​)=f(x2​)⟹x1​=x2​﻿ 
即为单射的定义

逆函数第二定义

性质内容: 

已知两个映射f:X→Y g:Y→Xf:X\rightarrow Y\ g:Y\rightarrow Xf:X→Y g:Y→X﻿ 

(g∙f=eX)∧(f∙g=eY)  ⟺  f and g are inverse mapping couple(g \bullet f = e_X )\land( f \bullet g = e_Y ) \iff f\  \text{and}\  g\  \text{are inverse mapping couple}(g∙f=eX​)∧(f∙g=eY​)⟺f and g are inverse mapping couple﻿ 

证明

借助上面 恒等映射和单射满射关系 可知, ff f﻿ 和 ggg﻿ 均为双射函数

且有f(g(x))=xf(g(x))=xf(g(x))=x﻿ 故为逆映射

我们也可以将符合 (g∙f=eX)∧(f∙g=eY)(g \bullet f = e_X )\land( f \bullet g = e_Y )(g∙f=eX​)∧(f∙g=eY​)﻿ 的函数定义为逆映射, 形式上更加对称

§1.4 关系

函数的定义的发展历程

我们在 §1.3 中提到的函数概念是由欧拉给出的, 而想要准确定义函数, 则需要更多的工作

“理论的普遍观点认为，只有把彼此有关联的数理解为是一起给定的，依赖关系才会存在”
这正是精确定义函数概念的思想

本节最前面对函数概念的描述是一种反映其本质的相当动态的描述，
但从现代标准来看，还不能称之为定义，因为它使用了一个与函数等价的概念—-对应

集合论的语言定义函数

关系.: 序偶 (x,y)(x,y)(x,y)﻿ 的任何集合称为关系 RRR﻿ 

区别于实数集, 一般严谨的写成 R\mathbb{R}R﻿ ,但经常在理解上下文情况下我们直接写成 RRR﻿ 

值集合 定义集合: 组成RRR﻿的所有序偶的第一个元素的集合 XXX﻿ 称为关系 RRR﻿ 的定义集合，而第二个元素的集合 YYY﻿ 称为关系 RRR﻿ 的值集合

可以将关系RRR﻿理解为直积 X×YX \times YX×Y﻿ 的子集

常常把 (x,y)∈R(x,y)\in  R (x,y)∈R﻿  写为 xRyxRyxRy﻿ , 并说 xxx﻿ 与 yyy﻿ 之间的关系为 RRR﻿ 

等价关系

等价关系定义: 任何具有下述三个性质的关系称为等价关系, 用符号” a∼ba\sim ba∼b﻿ ” 表示

自反性: aRaaRaaRa﻿ 

传递性: (aRb)∧(bRc)  ⟹  aRc(aRb)\land(bRc) \implies aRc(aRb)∧(bRc)⟹aRc﻿ 

 对称性: aRb  ⟺  bRaaRb \iff bRaaRb⟺bRa﻿ 

平行关系 为 一种等价关系

设 XXX﻿ 是平面上的直线的集合.如果直线 b∈Xb \in Xb∈X﻿ 平行于直线 a∈Xa \in Xa∈X﻿ , 我们称两条直线具有关系 RRR﻿  , 可以验证, 关系 RRR﻿ 符合上面三条性质

序关系

偏序关系定义: 任何具有下述三个性质的关系称为偏序关系, 用符号” a≼ba\preccurlyeq ba≼b﻿ ” 表示

自反性: aRaaRaaRa﻿ 

传递性: (aRb)∧(bRc)  ⟹  aRc(aRb)\land(bRc) \implies aRc(aRb)∧(bRc)⟹aRc﻿ 

 反对称性: (aRb)∧(bRa)  ⟹  a=b(aRb) \land (bRa) \implies a=b (aRb)∧(bRa)⟹a=b﻿ 

序关系: 除了满足偏序定义之外, 还满足排中律(可比性), 称定义了序关系集合为线性序集

排中律: ∀a,∀b(aRb)∨(bRa)≡True\forall a,\forall b \quad(aRb)\lor(bRa) \equiv \text{True}∀a,∀b(aRb)∨(bRa)≡True﻿ 

函数关系: 满足 xRy1∧xRy2  ⟹  y1=y2xRy_1 \land xRy_2 \implies y_1 = y_2xRy1​∧xRy2​⟹y1​=y2​﻿ 的关系称为函数 

§1.5 势函数(集合)

定义函数Card(X)Card(X)Card(X)﻿: 

该函数输入的”元素” 为集合输出的元素为”势” ,我们来研究所有”势”元素构造的集合”势集合” 具备什么性质

定义: 如果集合 XXX﻿ 到集合 YYY﻿ 的双射存在, ,则称集合 XXX﻿ 与 YYY﻿ 等势, 记作 CardX=CardYCard X = Card YCardX=CardY﻿ 

§Ext 1 一些玄学思考

集合论靠公理系统定义, 集合论内也可以包括公理系统?

摘抄 数理逻辑中的量词是如何做到取遍整个论域的？ - 知乎 (zhihu.com)

ZFC本身也是形式主义的产物, 但是ZFC强大的表现力使得形式系统本身可以在ZFC中得以表现, 因此乙F定义了何为形式系统, 并且发现, 无矛盾形式系统总可以看作是某个论域上的命题集, 公理集总可以看作是对论域的限制, 而真命题则是在一切满足限制条件的论域上总成立的命题. 在这种定义下, ZFC证明了演绎定理、完全性定理、不完全性定理等一系列有用的命题.

函数 泛函 算符

函数: 一般指的是定义集合

§Ext 2 函数命题 自有记号版本

(1) 基本定义

∀x∈X,∃y∈Y Let:  [(x,y)∈f]∧[∀(x′,y′)∈f (x′=x  ⟹  y′=y)]\forall x \in X, \exist y \in Y  \text{ Let: } \ [(x,y) \in f] \land [\forall (x' ,y') \in f \ (x'=x \implies y' = y)]∀x∈X,∃y∈Y Let:  [(x,y)∈f]∧[∀(x′,y′)∈f (x′=x⟹y′=y)]﻿

XX X﻿记作定义集, YY Y﻿记作到达集 定义集 XXX﻿→到达集 YYY﻿ 

"值集” ⊂\subset⊂﻿ "到达集” 

且有所有原像构成集合 “原像集“, 所有像构 “像集”

可以发现  “原像集" = "定义集”  “像集" ⊂\subset⊂﻿ "达到集”

我们也称 "像集” 为 "值集” 记作 f(X)f(X)f(X)﻿ 

即 f(X):={y∈Y∣∃x∈X, Let (x,y)∈f}f(X) := \{y \in Y | \exist x \in X , \text{ Let } (x,y) \in f\}f(X):={y∈Y∣∃x∈X, Let (x,y)∈f}﻿ 

我们先定义了 "值集合” 再来定义到达集合

Y:=Y Is a Set that f(X)⊂YY : = Y  \text{ Is a Set that } f(X) \subset Y   Y:=Y Is a Set that f(X)⊂Y﻿ 

可以说 "到达集合” 本身没啥意义, 仅仅是包含 f(X)f(X)f(X)﻿ 集合
都可以称该函数的到达集