§2.2 Part1 重要实数子类和其他问题 MA

§2.2 Part1 重要实数子类和其他问题 MA 

§2.2.1 Part1 自然数与数学归纳原理

自然数/归纳法定义

前继和后继相关定理

§2.2.1 Part2 自然数相关定理

§2.2.2 整数有理数

§2.2.1 Part1 自然数与数学归纳原理

自然数/归纳法定义

基本概念

自然数的定义: 形如 1, 1 +1, (1+1)+1 等等的数分别用记号 1,2,3 等
等表示, 称为自然数

归纳集( Inductive Set )

如何处理数学证明中经常, 特例推广到全体自然数, 需要一个个重复验证的等式→数学归纳法

归纳集: 如果对于集合 X⊂RX \subset R X⊂R﻿ 的每个数 x∈Xx \in Xx∈X﻿ 数 x+1x+1 x+1﻿ 也属于 XXX﻿, 则该集合称为归纳集

归纳集的交集为归纳集

设归纳集为XaX_aXa​﻿ , 所选归纳集的下标构成集合AAA﻿, 有a∈Aa\in Aa∈A﻿ 

设 x∈X=⋂a∈AXa⇔∀a∈A,∀x∈X(x∈Xa)x \in {\rm{X = }}\bigcap\limits_{a \in A} {{X_a} \Leftrightarrow \forall a \in A,\forall x \in X(x \in {X_a})} x∈X=a∈A⋂​Xa​⇔∀a∈A,∀x∈X(x∈Xa​)﻿ 

由于x∈Xax \in X_ax∈Xa​﻿ 为归纳集元素. 则有(x+1)∈Xa(x+1) \in X_a(x+1)∈Xa​﻿ 

即: ∀a∈A,∀x∈X(x+1∈Xa)⇔(x+1)∈⋂a∈AXa=X\forall a \in A,\forall x \in X(x+1 \in {X_a}) \Leftrightarrow (x+1) \in\bigcap\limits_{a \in A} {{X_a}}=X∀a∈A,∀x∈X(x+1∈Xa​)⇔(x+1)∈a∈A⋂​Xa​=X﻿ 

自然数和归纳原理: 

包含数 1 的最小归纳集，即包含数 1 的一切归纳集的交集，称为自然数集

上述的自然数定义也称数学归纳原理, 也即:
 (E⊂N)∧(1∈E)∧(x∈E⇒(x+1)∈E)⇒E=N(E \subset N ) \land \left( 1 \in E \right)\land \left( x \in E \Rightarrow \left( x + 1 \right) \in E \right) \Rightarrow E = N(E⊂N)∧(1∈E)∧(x∈E⇒(x+1)∈E)⇒E=N﻿ 

自然数集 记为 N\mathbb{N}N﻿ 

前继和后继相关定理

数学归纳方法证明自然数定理

加法封闭性: 若 m∈N,n∈N  ⟹  ,m+n∈Nm\in N,n \in N\implies , m+n \in Nm∈N,n∈N⟹,m+n∈N﻿ 

 符合题目要求的元素nnn﻿, 构成集合EEE﻿ 

由于m∈Nm \in Nm∈N﻿ 由于归纳集定义 m+1∈Nm+1 \in Nm+1∈N﻿ 即 1∈E1 \in E1∈E﻿ 

设 m+(n)∈Nm+(n) \in Nm+(n)∈N﻿ 由于归纳集定义 m+n+1∈Nm+n+1 \in Nm+n+1∈N﻿ 即 n∈E  ⟹  n+1∈En \in E \implies n+1 \in En∈E⟹n+1∈E﻿ 

归纳原理得: (E⊂N)∧(1∈E)∧(x∈E⇒(x+1)∈E)⇒E=N(E \subset N ) \land \left( 1 \in E \right)\land \left( x \in E \Rightarrow \left( x + 1 \right) \in E \right) \Rightarrow E = N(E⊂N)∧(1∈E)∧(x∈E⇒(x+1)∈E)⇒E=N﻿ 

自然数前继定理
(n∈N)∧(n≠1)  ⟹  n−1∈N(n \in N)\land (n \neq 1) \implies n-1 \in N(n∈N)∧(n=1)⟹n−1∈N﻿ 

设集合EEE﻿为  (n∈N)∧(n≠1)  ⟹  n−1∈E(n \in N)\land (n \neq 1) \implies n-1 \in E(n∈N)∧(n=1)⟹n−1∈E﻿ 

现在证明 E=NE = NE=N﻿ 

取 n=2n =2n=2﻿ 时侯 n−1=(2−1)=1∈En-1=(2-1) = 1 \in En−1=(2−1)=1∈E﻿  

当 (n−1)∈E(n-1) \in E(n−1)∈E﻿ 时候 (n−1)+1=((n+1)−1)(n-1)+1 = ((n+1) -1)(n−1)+1=((n+1)−1)﻿ 

n∈N  ⟹  n+1∈N(Inductive set Def)(n≠1,n∈N)  ⟹  n+1≠1(if let n+1=1  ⟺  n=0∉N)n \in N \implies n+1 \in N \quad(\text{Inductive set Def})

\\

(n \neq 1 ,n\in N) \implies n+1 \neq 1 \quad 

\\

(\text{if let } n+1 =1 \iff n=0 \notin N)n∈N⟹n+1∈N(Inductive set Def)(n=1,n∈N)⟹n+1=1(if let n+1=1⟺n=0∈/N)﻿

这两个定理重要性思考:

这个对于自然数, 我们定义一个自然数的后继成为自然数

上述公理可以推广到自然数的加法封闭性定理

那么我们能否加上一点限制条件使得, 自然数的前继也是个自然数呢?
我们现在知道了-(x≠1x \neq 1x=1﻿)

同时, 也能推广到, 自然数减法封闭性(有条件)

前后继集合, 自然数的非1下界子集

意义: 在接下来的自然数相关定理中 可以起到简化思路的作用

前(后)继集合: 原集合的所有元素的前继构成的集合

自然数的非1下界子集: 当自然数的最小值不是1的子集

当1不是某个自然数子集的下界时   ⟹  \implies⟹﻿前继集合仍然为自然数子集

:x∈{x∈N∣n∈N,n+1<x}x \in \{ x \in N | n\in N,n+1 < x \}x∈{x∈N∣n∈N,n+1<x}﻿ 

设 x∈{x∈N∣n∈N,n+1<x}  ⟺  ∀x∈N , n+1<x  ⟺  ∀x∈N,n<x−1and Let y=x−1  ⟺  ∀y∈A,n<y  ⟺  y∈{y∈A∣n<y}x \in \{ x \in N | n\in N,n+1 < x \} \\

 \iff \forall x\in N\ ,\ n+1 < x \\

\iff \forall x\in N, n < x-1 \\

\text{and Let}\ y=x-1 \iff \forall y\in A, n<y \\

\iff y \in \{y \in A| n<y\}

x∈{x∈N∣n∈N,n+1<x}⟺∀x∈N , n+1<x⟺∀x∈N,n<x−1and Let y=x−1⟺∀y∈A,n<y⟺y∈{y∈A∣n<y}﻿

接下来我们证明 y=x−1∈Ay=x-1 \in Ay=x−1∈A﻿ 其中 A=NA=NA=N﻿ 

x=y−1∈A=Nx=y-1\in A = N x=y−1∈A=N﻿ 推导

n∈N,n+1<x  ⟹  n∈N,1≤n+1<x  ⟹  1<x  ⟹  1≠xn\in N ,n+1 < x \\

\implies n\in N , 1\leq n+1 < x  \\

\implies  1<x \\

\implies  1\ne x n∈N,n+1<x⟹n∈N,1≤n+1<x⟹1<x⟹1=x﻿

x∈N∧1≠x  ⟹  x−1∈N  ⟺  y∈Nx \in N \land 1 \ne x \implies x-1 \in N \iff y \in Nx∈N∧1=x⟹x−1∈N⟺y∈N﻿ 

前处理的最后结果
 x∈{x∈N∣n∈N,n+1<x}  ⟹  x−1=y∈{x∈N∣n∈N,n<x}x \in \{ x \in N | n\in N,n+1 < x \}  \\ 

\implies x-1=y \in \{ x \in N | n\in N,n < x \}x∈{x∈N∣n∈N,n+1<x}⟹x−1=y∈{x∈N∣n∈N,n<x}﻿ 

显然这个定理和自然数前继定理有十分密切的关系

部分满足则整体满足证明技巧 (构造同元素集合)

上述技巧的本质

X1:{x∈C1∣ Condition1 }X2:{x∈C2∣ Condition2 }X_1:\{x\in C_1|  \text{ Condition1 }\} \quad X_2:\{x\in C_2|  \text{ Condition2 }\}X1​:{x∈C1​∣ Condition1 }X2​:{x∈C2​∣ Condition2 }﻿ 

(( Condition1   ⟺   Condition2 )∧(C1=C2))  ⟺  (X1=X2)( (\text{ Condition1 } \iff  \text{ Condition2 }) \land (C_1 = C_2)) \iff (X_1=X_2)(( Condition1 ⟺ Condition2 )∧(C1​=C2​))⟺(X1​=X2​)﻿

我们证明的方式, 就是通过 “把每一个元素取出” , 
证明 ”每一个元素的前继仍然为自然数” 即可

所有部分满足则整体满足的技巧

§2.2.1 Part2 自然数相关定理 

整数中严格比较—不严格比较互转:  {x∈N∣n<x}={x∈N∣n+1≤x}\{x\in N | n < x\} = \{x\in N | n+1 \leq x\}{x∈N∣n<x}={x∈N∣n+1≤x}﻿   

等价表述

 Set:{x∈N∣n<x}Set:\{x \in N | n<x \} Set:{x∈N∣n<x}﻿ 有最小值为n+1n+1n+1﻿

 min{x∈N∣n<x}=n+1min\{x\in N | n < x\} = n+1min{x∈N∣n<x}=n+1﻿ 

这是课本上的本来表述, 但这个表述缺乏本质性

归纳原点: 关于1的比较互转, 这个归纳原点也需要用归纳法

思路: 

借助 NNN﻿ 集合的”免费条件”
 N={x∈N ∣1≤x}={x∈N∣(1=x)∨(2≤x)}N= \{x \in N\ | 1 \leq x\}  \\=\{x \in N | (1=x)\lor(2\leq x) \}N={x∈N ∣1≤x}={x∈N∣(1=x)∨(2≤x)}﻿ 

再通过免费条件 比较直观的的得出归纳原点 {x∈N∣1<x}={x∈N∣1+1≤x}\{x\in N | 1 < x\} = \{x\in N | 1+1 \leq x\}{x∈N∣1<x}={x∈N∣1+1≤x}﻿ 

证明

证明免费条件 N={x∈N∣(1=x)∨(2≤x)}N =\{x \in N | (1=x)\lor(2\leq x) \}N={x∈N∣(1=x)∨(2≤x)}﻿ 

设 M:{x∈N∣(1=x)∨(2≤x)}M:\{x \in N | (1=x)\lor(2\leq x) \}M:{x∈N∣(1=x)∨(2≤x)}﻿ 可证 M=NM = NM=N﻿ 

显然有 1∈M1 \in M1∈M﻿ (归纳原点)

假设 x∈Mx \in M x∈M﻿ , 则有 (1=x)∨(2≤x)(1=x)\lor(2\leq x)(1=x)∨(2≤x)﻿  (归纳过程)

当 x1=1x_{1}=1x1​=1﻿ 时 x1+1=2  ⟹  2≤(x1+1)  ⟹  x1+1∈Mx_1+1 =2 \implies 2 \leq (x_1+1)  \implies x_1+1 \in Mx1​+1=2⟹2≤(x1​+1)⟹x1​+1∈M﻿ 

当 x∈M and 2≤xx \in M  \text{ and } 2\leq xx∈M and 2≤x﻿ 时
2≤x  ⟹  2+1≤x+1  ⟹  2<x+1  ⟹  x+1∈M2\leq x \implies 2+1 \leq x+1 \implies 2 < x+1 
\implies x+1 \in M2≤x⟹2+1≤x+1⟹2<x+1⟹x+1∈M﻿ 

综上 M=NM = NM=N﻿ 

证明不等式转换定理的归纳原点

  {x∈N ∣1<x}={x∈N∣(1=x)∨(2≤x)∧(x≠1)}={x∈N∣(2≤x)}\{x \in N\ | 1 < x\} 
\\

= \{x \in N | (1=x)\lor(2\leq x)\land (x\neq 1) \}\\

= \{x \in N | (2\leq x) \}{x∈N ∣1<x}={x∈N∣(1=x)∨(2≤x)∧(x=1)}={x∈N∣(2≤x)}﻿ 

归纳原点成立

归纳递推 

思路

 {x∈N∣n<x}={x∈N∣n+1≤x}\{x\in N | n < x\} = \{x\in N | n+1 \leq x\}{x∈N∣n<x}={x∈N∣n+1≤x}﻿  
满足左边等式的可行nnn﻿取值构成的 集合为 EEE﻿ ,且有 E=NE=NE=N﻿

有一点绕: 我们一般认为n就代表自然数中的元素, 当我们这里不先这么认为,  即 n∈Nn \in Nn∈N﻿ 是我们需要证明的

证明当 nnn﻿ 满足需证明的等式的时候 n+1n+1 n+1﻿也满足 上述整数比较式

证明

现在来证明 
若原集合满足不等式转换, 
则后继构成的集合也满足

Assume: y∈{x∈N∣n<x}={x∈N∣n+1≤x}\text{Assume: } y\in\{x\in N | n < x\} = \{x\in N | n+1 \leq x\}Assume: y∈{x∈N∣n<x}={x∈N∣n+1≤x}﻿ 

可通过上面 前继集合的思路, 把”每个元素挑出来” 的思路

{x∈A∣n+1<x}={x∈A∣n+2≤x}\{x\in A | n+1 < x\} = \{x\in A | n+2 \leq x\}{x∈A∣n+1<x}={x∈A∣n+2≤x}﻿ 

可证明 A=NA =NA=N﻿ , (∀x∈N  ⟹  x+1∈N)(\forall x \in N \implies x+1 \in N)(∀x∈N⟹x+1∈N)﻿ 

归纳总结

上面的叙述其实只证明了y∈{x∈N∣n<x}  ⟹  y+1∈{x∈A∣x∈N,n+1<x}  ⟺  y+1∈{x∈N∣x∈A,n+1<x}y\in \{x\in N | n < x\} \\

\implies y+1 \in \{x\in A | x\in N,n+1 < x\} \\

\iff y+1 \in \{x\in N | x\in A,n+1 < x\} 

y∈{x∈N∣n<x}⟹y+1∈{x∈A∣x∈N,n+1<x}⟺y+1∈{x∈N∣x∈A,n+1<x}﻿

还需要证明 x∈Ax\in Ax∈A﻿ 是一个无关紧要的选择(A∧B  ⟺  BA\land B \iff BA∧B⟺B﻿)

即证明{x∈N∣n+1<x}⊂A={y∣x∈N,x−1∈A}\{x\in N | n+1 < x\} \subset A= \{y | x\in N,x-1 \in A\}{x∈N∣n+1<x}⊂A={y∣x∈N,x−1∈A}﻿

当集合俩要素, 选择条件 初始范围缺失了一个, 
而是从其他集合中生成过来的怎么办?

严格/不严格不等式互转定理的推广

(n∈N)∧(m∈N)∧(n<m)  ⟹  (n+1≤m)  ⟹  1≤(m−n)(n \in N) \land (m \in N) \land (n<m) 
\\\implies (n+1 \leq m)
\\ \implies 1 \leq (m-n)(n∈N)∧(m∈N)∧(n<m)⟹(n+1≤m)⟹1≤(m−n)﻿

(A⊂N)∧(A≠∅)  ⟹  Exist: min A (A\subset N) \land (A \neq \emptyset) \implies \text{Exist: } min \ A\ (A⊂N)∧(A=∅)⟹Exist: min A ﻿

...

§2.2.2 整数 有理数

整数的概念

整数定义:  自然数集, 自然数的相反数的集合, 零 的并集称为整数集, 记作Z\mathbb{Z}Z﻿

ZZZ﻿ 为加法的阿贝尔群(单位 逆 封闭 交换) , Z,Z/0Z,Z/0Z,Z/0﻿ 都不是乘法群(无逆)

整数的加法乘法封闭性

简略证明(说明)

设 m,n∈Zm ,n \in Zm,n∈Z﻿ 有三种情况: 0个为0 1个为0 2个为0

1个以上为0:  则有 m+n=(m)∨(n)∈Z,m∗n=0∈Zm+n =(m) \lor (n)\in Z,m*n=0\in Zm+n=(m)∨(n)∈Z,m∗n=0∈Z﻿ 

0个为0: (m∈N)∨(−m∈N),(n∈N)∨(−n∈N)(m \in N)\lor(-m \in N),(n \in N)\lor(-n \in N)(m∈N)∨(−m∈N),(n∈N)∨(−n∈N)﻿ 随后使用自然数中加乘法封闭性即可

思路: 

对于同号而言,先把符号剔除, 剩下的部分总是可以在自然数内封闭, 最后再计算上符号

对于不同号, 需要利用

整数中除法

整除的概念: 

当 m,n∈Z,∃k∈Z,Let m=knm,n \in Z,\exist k \in Z,\text{Let } m=kn m,n∈Z,∃k∈Z,Let m=kn﻿ 我们说 mmm﻿ 可以被 nnn﻿ 整除 

nnn﻿ 是 mmm﻿ 的因数

素数: p∈N,p≠1p \in N,p \ne 1p∈N,p=1﻿ 在 NNN﻿ 中p没有除了 111﻿ 和 ppp﻿ 以外的因数, 称 ppp﻿ 为素数 

互素: m,n∈Zm,n \in Zm,n∈Z﻿ 没有与 -1, 1 不同的的公因数, 则两者互素

算数的基本定理: 每个自然数可以唯一的表示称 n=p1p2...pkn=p_1p_2...p_kn=p1​p2​...pk​﻿  

有理数

有理数定义: 形如 m∗n−1m*n^{-1}m∗n−1﻿ 的数, 其中 m,n∈Zm,n \in Zm,n∈Z﻿ 称为有理数

有理数集合记为 Q\mathbb{Q}Q﻿ 

经典证明: 2\sqrt{2}2​﻿ 不是有理数: 太过经典此处忽略