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§2.2 Part2 高阶数定理 MA
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§2.2 Part2 高阶数定理 MA
§2.2.3 阿基米德原理
相关引理
📐自然数集的任何非空子集有最小元素
设 EE 为自然数集的某个子集 E⊂NE \subset N
当 1∈E1 \in E 时候, EE有最小值 1
当 1∉E1 \notin E 时候, 我们定义 M:{x∈N∣∃n∈E, Let: x≤n}M:\{x \in N | \exist n \in E , \text{ Let: } x\leq n\} 即利用EE 确定一个自然数的分割方式
于是也可以定义集合 N/MN/M  , 这样 N/MN/M 和 MM 为自然数的一种分割方式, 即 ∀n∈N, Have:  (n∈N/M)∨(n∈M)≡True\forall n \in N , \text{ Have: }\ (n \in N/M)\lor(n \in M) \equiv True
我们可以证明下述命题: 在集合五中必能找到自然数 n∈En \in E,使得 不超过 nn 的自然数都属于 EE ，而(n+1)∈M (n+ 1) \in M
 For a Special n∈N, Have:  (n,n+1∈N/M)∨(n,n+1∈M)∨(n∈N/M,n+1∈M)≡True \text{ For a Special } n \in N , \text{ Have: }\ \\ (n,n+1 \in N/M)\lor \\ (n,n+1 \in M) \lor (n \in N/M , n+1\in M)\\ \equiv True
若不是 (n∈N/M,n+1∈M) (n \in N/M , n+1\in M) 我们可以导出 , (n,n+1∈N/M)∧1∈N/M  ⟹  N/M=N(n,n+1 \in N/M) \land 1 \in N/M\\ \implies N/M =N 则有 M=∅M = \emptyset 不符合假设
显然 n,n+1∈Mn,n+1 \in M 也是错的 , 如此的话 1∈M1 \in M ,与假设不符合
📐引理 ∀s∈R,∃x∈(s−1,s] Let: x∈Z\forall s \in R , \exist x \in (s-1, s] \quad \text{ Let: } x \in Z
...
📐引理: 整数集合子集若有界必有最值( 以有下界的集合 为例子)
由于设整数有上界子集AA则有 E⊂Z⊂RE \subset Z \subset R  , 在实数集中我们有确界定理 即 ∃!sup E =s∈R\exist ! sup\ {E} \ =s\in R
则可以找到 ss 旁边的一个整数 n0∈En_0 \in E 使得 s−1<n≤ss-1<n\leq s 则有 max E =n0max\ E \ =n_0
我们有 ∀n∈E,n≤s<n0+1  ⟹  n<n0+1\forall n\in E,n \leq s < n_0+1 \implies n < n_0 +1
根据整数中严格不等式互转定理得 n<n0+1  ⟹  n≤n0n < n_0 +1 \implies n \le n_0 即有最大值n0n_0
📐自然数 整数集 无最大元素(以自然数无上界为例子)
Assume :max N =n0, Let n1=n0+1  ⟹  (n1>n0)∧(n1∈N)\text{Assume :} \text{max}\ N\ =n_0 ,\ \text{Let } n_1 = n_0 +1 \\ \implies (n_1 > n_0) \land (n_1 \in N) 
阿基米德原理
定理内容: 如果 ∀h∈R+\forall h \in R^+  , ∀x∈R\forall x \in R  , ∃!k∈Z\exist ! k \in Z  Let :(k−1)h≤x<kh\text{Let :} (k-1)h \leq x < kh
🤔证明思路解析:
由于整数子集, 有界必有最小值,
同时在实数域中,我们已经证明最小值唯一性
我们构造一个有界子集即可 a,b∈R, {n∈N∣ab<n}a,b\in R, \ \{n\in N| \frac{ a }{b}<n\}
仅仅只有 b∈R+b \in R+ 的时候, {n∈N∣ab<n}={n∈N∣a<nb}\{n\in N| \frac{ a }{b}<n\} = \{n\in N| a<nb\} 故
原命题有一个数值约束取值为 R+R^+ 而不是更加对称的 A.M:(R,R)→NA.M : (R,R) \rightarrow N
我们通过缩限一个bb , 减少了需要分析的情况, 获得了更理想的性质
📐定理(原理) 证明
设集合 {n∈Z∣x/h<n}\{n \in Z | x/h < n\} 为非空有上界的集合
由引理-整数集合子集若有界必有最值 得存在唯一最小元素 kk
得到 k−1≤x/h<k  ⟹  (k−1)h≤x<khk-1 \leq x/h <k \implies (k-1)h \leq x < kh
🤔函数形式的命题
这种 ∀...,∃!...\forall ... ,\exist!... 的结构和函数的定义(要求十分)接近
阿基米德原理实际上等价于一个如下命题:
 Archimedes Funtion  \text{ Archimedes Funtion }出发域等价于定义域
A.M:(R+,R)⟶Z is a Injection Map Always HoldA.M: (R^+,R) \longrightarrow Z \\ \text{ is a Injection Map Always Hold} 
区别: 对应关系并不显然, 我们只能从其性质(一个不等式)研究
将 ∃!...\exist!... 中唯一去掉, 就得到了函数式命题
阿基米德原理推论
极限语言基础: ∀ϵ∈R,ϵ>0,∃n Let: 0<1n<ϵ\forall \epsilon \in R, \epsilon >0 , \exist n \text{ Let: } 0<\frac{1}{n}<\epsilon
📐证明
根据阿基米德原理 ∀ϵ∈R,ϵ>0,∃n∈Z Let: 1<ϵ∗n\forall \epsilon \in R, \epsilon >0 , \exist n \in Z \text{ Let: } 1<\epsilon*n 
由于 ϵ>0  ⟹  0<1ϵ<n\epsilon>0 \implies 0<\frac{1}{\epsilon} < n
🤔思路解析
选择 ab<n\frac{ a }{ b } <n  ,我们令aa取值也为R+R^+ 域中
发现, 0<ab<n  ⟹  1n<ba0< \frac{ a }{ b } < n \implies \frac{ 1 }{ n } <\frac{ b }{ a }
和上面阿基米德定理一样, 我们可以缩限两个变量, 换取更深入的命题
我们再让 b=ϵ>0,a=1b = \epsilon >0 , a=1  得到了极限语言基础
0得等价表述: 若 x∈R,x≥0x \in R , x \geq 0 并且对于 ∀n∈N,x<1n\forall n \in N, x<\frac{1}{n}  则 x=0x = 0
📐证明: 由极限语言基础定理, 不存在这样的 x>0x > 0 故 x=0x = 0
有理数的连续性: ∀a,b∈R,a<b  ⟹  ∃r∈Q, Let a<r<b\forall a,b \in R , a<b \implies \exist r \in Q , \text{ Let } a<r<b 
📐证明
利用极限语言基础: 取n0n_0 使得 0<1n0<b−a0<\frac{1}{n_0} <b-a
由阿基米德原理可得: ∃m0∈Z Let: (m0−1)1n0≤a<(m0)1n0\exist m_0 \in Z \text{ Let: } (m_0-1)\frac{1}{n_0}\leq a<(m_0)\frac{1}{n_0} 
可知 m0n0<b\frac{m_0}{n_0} < b 否则由 m0−1n0≤a<b≤m0n0  ⟹  1n0≥b−a\frac{m_0-1}{n_0} \leq a < b \leq \frac{m_0}{n_0} \implies \frac{1}{n_0} \geq b-a
与假设相违背
§2.2.4 Part1 实数集的几何解释
数轴原理
数轴-实数双射: 根据几何公理，直线 LL 上的点与实数集 RR 之间可以建立一一对应关系
直线的移动和加法的双射:
即如 TT 是直线 LL 沿自身的平移，则有 x∈L,T(x)∈L′x\in L ,T(x) \in L'
即 T(x)T(x) 代表新直线上的点 ,
则存在一个数 t∈Rt \in R (只与 T 有关)， x∈Lx \in L 有 f(T(x))=f(x)+tf (T( x ) ) = f ( x ) + t
常见的概念
直线上的点 x∈Lx \in L 相对应的数 f(x)∈Rf(x) \in R 称为点 xx  的坐标
由于 f:L→Rf:L \rightarrow R  为意义映射, 点的坐标也称作点
直线 L\mathbb{L} 称为坐标轴或数轴
单位线段确立
当施加平移函数 TT  后, 由平移-加法双射的关系知道
平移后点的位置(即像的位置) 和 原来的点的位置 仅相差一个 tt
只要指出被称为坐标原点的点 00 以及点 11 ,即可完全确定 点→实数函数 ff , 后续为确定方法
数轴上的位置为整数的点确定
如果坐标原点 x0x_0 经过平移 T 后位于坐标为 1 的点 即 x1=T(x0)x_1 = T(x_0)
则有所有点的坐标比原像坐标大1
点 x2=T(X1)x_2 =T( X_1 ) 具有坐标 2
以此类推, 我们得到坐标为整数 m∈Zm \in Z 的所有点
数轴上的位置为有理数的点确定
我们既然能从单位线段出发作出长度为其 2,3,… 倍的线段
根据泰勒斯定理也就能把单位线段分为相应数目的 nn 条等长线段(即相似定理)
于是乎我们可以得到 mn∈Q\frac{m}{n} \in Q
数轴上的位置为无理数的点确定
在 L\mathbb{L} 上还有其他的点，因为还有与单位线段无公度的线段
每一个这样的点, 都可以把位置为 QQ 的点划分成两个集合(即分割)
根据实数域上的完备性定理, 也有一个对应的实数 cc 具有将 QQ 分割
这个 cc  就是上述 LL 中的点
LL  作为 RR 直观模型的合理性
直线上的点与其坐标的上述对应关系
无论从 R 中的序关系来看（术语“线性序”正源于此）
还是从 R 的完备性(连续性)公理来看, R 的完备性(连续性)公理表示直线 L 上“没有洞”
即不存在能,把直线分为没有公共点的两部分的“洞”
§2.2.4 Part2 极限的预备知识
区间的定义
以开区间为例子: (a,b)={x∈R∣a<x<b}(a,b) = \{x \in R | a<x<b\}
其中确定区间的两个数组称作端点
邻域: 包含点 x∈Rx \in R 的开区间称为该点的
距离: 值 ∣x−y∣|x-y| 称为 x,y∈Rx,y \in R 之间的距离
三角不等式: ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x+y| \leq |x|+|y|
📐证明 分类证明即可
当 0≤x,0≤y,∣x+y∣=∣x∣+∣y∣0 \leq x, 0 \leq y , |x+y|=|x|+|y|
当 0≥x,0≥y,∣x+y∣=∣x∣+∣y∣0 \geq x, 0 \geq y , |x+y|=|x|+|y|
当一正一负的时候, 设 0≤x,0≥y  ⟹  (y<x+y≤0)∨(x>x+y≥0)0 \le x, 0 \ge y \implies (y<x+y\leq 0)\lor(x>x+y \geq 0)
  ⟹  (∣x+y∣<∣y∣)∨(∣x+y∣<∣x∣)\implies (|x+y|<|y|)\lor(|x+y|<|x|)
预测我们还可以通过数学归纳法扩展高维三角不等式 ∣x1+x2...xn∣≤∣x1∣+x2∣+...+∣xn∣|x_1 + x_2 ...x_n| \leq |x_1| + x_2 |+...+|x_n|
数的非常规表达思想引入
一个数的等价表述
正如阿基米德原理中的0的等价表述命题, 其他的数也可以用一个命题来表述
若 x∈R,x≥0x \in R , x \geq 0 并且对于 ∀n∈N,x<1n\forall n \in N, x<\frac{1}{n}  则 x=0x = 0
用近似值序列给出一个数 就是这样的一个思想: 如果我们能够以任何预先给定的精度进行测量, 就可以（或应当）认为, 我们完全知道所求的量
有理数 数列 表述整体实数
注意: 我们引入了测量一词, 意味这, 测量的结果,即近似值是用有理数表示的
我们用近似值序列来代表一个数, 则意味这用有理数来代表整体实数
待测未知量的加法与乘法则用其近似值的加法与乘法来代替
有理数列的要求
两个实数 对应两个有理数列 , 并不是任意两个有理数列都可以满足
两个有理数列逐个相加后, 新的有理数列的代表的数, 和原来的两个实数代表的值相同
近似值算数
绝对误差 相似误差定义
设 xx 为精确值 , x~\tilde{x} 为近似值
定义绝对误差 Δ(x~):=∣x−x~∣\Delta( \tilde{x} ) := | x-\tilde{ x } |
定义相对误差 δ(x~):=Δ(x~)∣x~∣ \delta(\tilde{ x }) := \frac{ \Delta(\tilde{ x }) }{ |\tilde{ x }| }
物理中我们我们有如下写法: x~±Δ  ⟺  x~−Δ≤x≤x~+Δ\tilde{ x } \plusmn \Delta \iff \tilde{ x } - \Delta \leq x \leq \tilde{ x } + \Delta
近似值算数运算误差
Δx=∣x−x~∣,Δy=∣y−y~∣\Delta{ x } = | x - \tilde{ x } |, \Delta{ y } = | y - \tilde{ y } |
加法:
Δ(x~+y~)=∣(x+y)−(x~+y~)∣≤Δ(x~)+Δ(y~)\Delta(\tilde{ x }+\tilde{ y })= | (x+y) - (\tilde{ x }+ \tilde{ y }) | \leq \Delta(\tilde{ x }) + \Delta(\tilde{ y })
乘法:
Δ(x~∙y~)=∣(xy)−(x~y~)∣≤∣Δ(x~)Δ(y~)∣+∣y~Δ(x~)∣+∣x~Δ(y~)∣\Delta(\tilde{ x }\bullet \tilde{ y }) = | (xy) - (\tilde{ x } \tilde{ y }) | \leq |\Delta(\tilde{ x })\Delta(\tilde{ y })| +|\tilde{ y }\Delta(\tilde{ x })| +|\tilde{ x }\Delta(\tilde{ y })| 
📐证明如下
Δ(x~∙y~)=∣(xy)−(x~y~)∣=∣(x−x~)(y−y~)+x~(x−x~)+y~(y−y~)∣\Delta(\tilde{ x }\bullet \tilde{ y }) = | (xy) - (\tilde{ x } \tilde{ y }) | \\ = | (x-\tilde{ x })(y-\tilde{ y }) +\tilde{ x }(x-\tilde{ x })+\tilde{ y }(y-\tilde{ y }) | 
再结合三元三角不等式得最后结果
除法
若 y≠0,δ(y~)=Δ(y~)∣y~∣<1y \neq 0 , \delta(\tilde{ y }) = \frac{ \Delta({\tilde{ y }}) }{|\tilde{ y }|} < 1 (即 y±Δ>0y \plusmn \Delta >0)
Δ(x~y~)=∣xy−x~y~∣≤∣x~∣Δ(y~)+∣y~∣Δ(x~)y~2∙11−δ(y~)\Delta( \frac{ \tilde{ x } }{\tilde{ y }}) = | \frac{ x }{ y } - \frac{ \tilde{ x } }{ \tilde{ y } }| \leq \frac{ |\tilde{ x }|\Delta(\tilde{ y })+|\tilde{ y }|\Delta(\tilde{ x }) } {\tilde{ y }^2} \bullet \frac{ 1 }{1-\delta(\tilde{ y })}
📐相对误差绝对误差之间关系
y~y=1/yy~=1y−y~y~+1\frac{ \tilde{ y } }{y} = 1/\frac{y}{\tilde{ y }} = \frac{ 1 }{ \frac{ y- \tilde{ y } }{\tilde{ y }}+1}
📐证明如下
∣xy−x~y~∣=∣xy~−yx~yy~∣=∣xy~−yx~y~2∣∣y~y∣ | \frac{ x }{ y } - \frac{ \tilde{ x } }{ \tilde{ y } }| = | \frac{ x\tilde{ y }-y\tilde{ x } }{y\tilde{ y }}| = | \frac{ x\tilde{ y }-y\tilde{ x } }{\tilde{ y }^2}|| \frac{ \tilde{ y } }{y}|
=∣xy~−yx~+x~y~−x~y~y~2∣∣y~y∣=∣(x−x~)y~−(y−y~)x~y~2∣∣y~y∣= | \frac{ x\tilde{ y }-y\tilde{ x } + \tilde{ x }\tilde{ y }-\tilde{ x }\tilde{ y }} {\tilde{ y }^2} || \frac{ \tilde{ y } }{y}| = | \frac{ (x-\tilde{ x })\tilde{ y }-(y-\tilde{ y })\tilde{ x } }{\tilde{ y }^2}|| \frac{ \tilde{ y } }{y}|
最后在使用三角不等式子即可
高精度得时候我们有如下极限情况
📐 在如下的条件下
Δ(x~)∙Δ(y~)≈0,δ(x~)∙δ(y~)≈0,1−δ(y~)≈1 \Delta(\tilde{x}) \bullet \Delta(\tilde{y}) \approx 0, \\ \delta(\tilde{x}) \bullet \delta(\tilde{y}) \approx 0, \\ 1- \delta(\tilde{y}) \approx 1
📐我们有如下简化
Δ(x~∙y~)≤∣y~Δ(x~)∣+∣x~Δ(y~)∣Δ(x~/y~)≤∣y~Δ(x~)∣+∣x~Δ(y~)∣/y~2\Delta(\tilde{ x }\bullet \tilde{ y }) \leq |\tilde{ y }\Delta(\tilde{ x })| +|\tilde{ x }\Delta(\tilde{ y })| \\ \Delta(\tilde{ x } / \tilde{ y }) \leq |\tilde{ y }\Delta(\tilde{ x })| +|\tilde{ x }\Delta(\tilde{ y })| /\tilde{y}^2
δ(x~∙y~)≤δ(x~)+δ(y~)δ(x~/y~)≤δ(x~)+δ(y~)\delta(\tilde{ x }\bullet \tilde{ y }) \leq \delta(\tilde{ x }) +\delta(\tilde{ y }) \\ \delta(\tilde{ x } / \tilde{ y }) \leq \delta(\tilde{ x }) +\delta(\tilde{ y })
§2.2.4 Part3 位置计数法
引入
上面我们大概介绍了 通过近似值序列表示一个数的思想
还介绍了近似值计算带来的误差不等式的变化
接下来我们详细描述 如何找到这样能表示数的近似值序列
位置记数法
介绍一种对计算很重要的方法, 利用这种方法能够对每个实数唯一地构 造出这样的有理近似值序列. 位置记数法就是由此产生的
引理: ∀q>1,∀x∈R>0 We Have !∃k∈Z Let qk−1≤x<qk\forall q>1 ,\forall x \in R >0 \text{ We Have } !\exist k \in Z \text{ Let } q^{ k-1 } \leq x <q^k 
法1
📐证明 形如 qk ,k∈Nq^k\ , k\in N 没有上界
若有上界, 必有上确界 ss , 则有 qm≤sq^m \leq s ,
设一个数 s/qs/q 由于上确界为最小上界, 当 qm≤s/q<sq^m \leq s/q < s 时候与题目相违背, 故必然有 s/q<qm≤ss/q < q^m \leq s
则有 s<qm+1<sq s<q^{m+1}<sq 和假设相违背 故没有上确界
📐没有上界的逆否命题:(无限的描述)→单调性加强无界性质→有下界→最小值唯一话 (🤔单调拓展见下面的Additon 叙述)
无(上)界定义(命题): ∀s∈R,∃n0    Let:qn0>s\forall s \in R , \exist n_0 \text{\ \ \ Let:} q^{n_0}>s
单调拓展: q>1,m<n  ⟹  qm<qnq >1 , m<n \implies q^m<q^n
∀c∈R, ∃n0∈N    Let: n1>n0 Have qn1>c\forall c \in R ,\ \exist n_0 \in N \ \text{\ \ \ Let:\ } n_1>n_0 \text{ Have }q^{n_1} >c
📐当我们缩减范围为c>0c>0时候, 符合条件的n0n_0有下界→最小值唯一化
∀c∈R>0, ∃n0∈N    Let: n1>n0 Have qn1>c>0\forall c \in R>0 ,\ \exist n_0 \in N \ \text{\ \ \ Let:\ } n_1>n_0 \text{ Have }q^{n_1} >c >0
qn1>c>0  ⟹  0<1/qn1< 1/c, Let :1/c=ϵq^{n_1} >c >0 \implies 0<1/q^{n_1} < \ 1/c , \text{ Let :} 1/c = \epsilon
我们得到了 ∀ϵ∈R>0, ∃n0∈N    Let: n1>n0 Have 0<q−n1<ϵ\forall \epsilon \in R>0 ,\ \exist n_0 \in N \ \text{\ \ \ Let:\ } n_1>n_0 \text{ Have }0<q^{-n_1} <\epsilon
结合一下: 我们有 ∀x>0,∃n2,n3  ⟹  qn3<x<qn2\forall x>0 , \exist n_2,n_3 \implies q^{n_3} <x<q^{n_2}
所有 0<x<qn00<x<q^{n_0}  对于特定xx, 符合条件的 n0 n_0 构成一个整数子集 , 这个子集有下界, 故唯一存在最小值
📐利用整数 有下界必有最小值, 随后根据最小值构造原命题
∀x>0∈R,{m∈Z∣x<qm}\forall x >0 \in R , \{m \in Z | x<q^m\}  有下界, 由整数性质得 ,有下界, 必有最小值 kk
固有 x≤qkx\leq q^k , 则有 qk−1≤x<qkq^{k-1} \leq x < q^k
方法2: 仿照阿基米德定理的构造形式证明, 构造一个下界集合即可
令 {n∈N∣n>xlnq}\{n \in N | n>\frac{x}{lnq}\}
若要使得 {n∈N∣n>lnxlnq}  ⟺  {n∈N∣nlnq>lnx}  ⟺  {n∈N∣qn>x}\{n \in N | n>\frac{lnx}{lnq}\} \iff \{n \in N | nlnq>lnx\} \iff \{n \in N | q^n>x\}
自然的需要约束 q>1q>1 , x>0x>0
构造了下界自然有唯一最小值设为kk
引理的一些概念定义
∀q>1,∀x∈R>0 We Have !∃k∈Z Let qk−1≤x<qk\forall q>1 ,\forall x \in R >0 \text{ We Have } !\exist k \in Z \text{ Let } q^{ k-1 } \leq x <q^k
给定一个 x>0x>0 , 一个 q>1q>1 , 可唯一求出 kk
阶数kk: 我们称数kk, 为数 xx 以 qq 为底数的阶数
根据 阿基米德原理 的拓展得到
📐阿基米德原理的简单符号替换
阿基米德原理: ∀h∈R+\forall h \in R^+  , ∀x∈R\forall x \in R  , ∃!k∈Z\exist ! k \in Z  Let :(k−1)h≤x<kh\text{Let :} (k-1)h \leq x < kh
显然我们将 (k−1)h≤x<kh(k-1)h \leq x < kh  替换为 kh≤x<(k+1)hkh \leq x < (k+1)h 并不改变正确性
另 h=qpk=aph = q^p \quad k = a_p
我们得到 ∀x∈R,q>1, We Have:   ∃!ap∈Z, apqp≤x<(ap+1)qp\forall x \in R , q>1 ,\text{ We Have: \ \ } \exist!a_p\in Z,\ a_p q^p \leq x < (a_p+1)q^p 
📐引理1的符号替换
此时我们对比引理1 ∀q>1,∀x∈R>0 We Have !∃k∈Z Let qk≤x<q∙qk\forall q>1 ,\forall x \in R >0 \text{ We Have } !\exist k \in Z \text{ Let } q^{ k } \leq x <q\bullet q^k
📐推导 ap∈{1,2...q−1}a_p \in \{1,2...q-1\}
将引理中条件作为前提, 我们可以知道 ap∈{1,2...q−1}a_p \in \{1,2...q-1\}
qk≤x<q∙qkq^{ k } \leq x <q\bullet q^k 和 apqp≤x<(ap+1)qpa_p q^p \leq x < (a_p+1)q^p 是一个范围更大的条件
apa_p  选择 必须落在 ap∈{1,2...q−1}a_p \in \{1,2...q-1\} 才能满足前者的要求
§🤔Addition Part 界相关命题
复习一下上界下界定义
上界下界
设 X⊂RX \subset R  如果∃c∈R, Let ∀x∈X, have x≤c \exist c \in R ,\ \text{Let} \ \forall x \in X ,\ \text{have}\ x\leq c 称X为上有界集合
符合上述条件的 c∈Rc \in R 称为XX的上界
有界集合: 既是上有界也是下有届的集合
upper bound lower bound的等价命题(定义)
c=ub X :=∀x∈X,x≤cc = ub\ X \ := \forall x \in X , x\leq c
c=lb X :=∀x∈X,x≥cc = lb\ X \ := \forall x \in X , x\geq c
和无界命题对应的不是上下界的定义, 而是有界集合的定义
无(上)界集定义: ∀c∈R, ∃x∈X, Let x≥c\forall c \in R ,\ \exist x \in X ,\ \text{Let}\ x\geq c
有(上)界集定义: ∃c∈R,  ∀x∈X, have x≤c\exist c \in R ,\ \ \forall x \in X ,\ \text{have}\ x\leq c
确界
定义: X⊂RX \subset R  的上界中最小者为其上(下)确界
记为 supX=max{∀c∈R,∀x∈X(c⩽x)}sup X = m a x\{ \forall c \in R , \forall x \in X \left( c \leqslant x \right) \}
同理 inf X =min{∀c∈R,∀x∈X(c⩾x)}inf\ X\ = min\{ \forall c \in R , \forall x \in X \left( c \geqslant x \right) \} 为下界
我们所谓的何为单调拓展是什么?(位置计数法)
原本有无上界, 仅仅针对集合而言, 我们不知道具体的内部结构
内部结构: 我们仅仅知道存在, 但是怎么找到这个元素却一概不知道
但是有了单调性: 我们可以知道 ∀c∈R, ∃x∈X, Let x≥c\forall c \in R ,\ \exist x \in X ,\ \text{Let}\ x\geq c xx 更具体的条件: 只有找到一个, 若有x0>xx_0 > x 都是符合的元素
∀c∈R, ∃n0∈N    Let: n1>n0 Have qn1>c\forall c \in R ,\ \exist n_0 \in N \ \text{\ \ \ Let:\ } n_1>n_0 \text{ Have }q^{n_1} >c 很明显这个 这个条件比原本具有更多的性质了
比较极限和界
再次温习类似的性质
无(上)界集定义: ∀c∈R, ∃x∈X, Let x≥c\forall c \in R ,\ \exist x \in X ,\ \text{Let}\ x\geq c
有(上)界集定义: ∃c∈R,  ∀x∈X, have x≤c\exist c \in R ,\ \ \forall x \in X ,\ \text{have}\ x\leq c
数列极限: ∀V(A)⊂R,∃n0∈N, Let: n1>n0,xn1∈V(A)\forall V(A) \subset R , \exist n_0 \in N , \text{ Let: } n_1 > n_0 , x_{n_1}\in V(A)
函数定义 ∀c∈R, ∃x∈X, Let f(x)=c\forall c \in R ,\ \exist x \in X ,\ \text{Let}\ f(x) = c
结构
假设有两个集合 ABA\quad B.
都是集合 AA  中的每个元素使得 BB 中存在一些元素, 使得这两个元素之间满足某些性质
对于极限比较特殊, 元素是一个集合 V(A)⊂RV(A) \subset R , 而这个集合又是跟一个 实数 有关