方程组和向量组

方程组和向量组

方程基础

高等代数基本定理:

定理内容: 一元n次方程在C上至少一个解

推论: n次方程在C上有n个解

线性方程组

线性方程定义: 形如 a1x1+a2x2...anxn=ba_1x_1+a_2x_2 ... a_nx_n =b a1​x1​+a2​x2​...an​xn​=b﻿ 的方程

线性方程组: 包含相同变量的线性方程组成

方程矩阵

定理1: 初等变换的方程组为同解方程组

相关叙述如下(不严格证明)

证明:对于原方程的每一个解必然是新方程的解

Key 由于初等变换存在逆变换且同为初等变换
则有新方程组的每一个解都是原方程的解
故同解

等价方程组: 我们将同样解集的方程组称为等价方程组

齐次方程组, 若有方程数小于未知量个数，一定有非0解

构造性证明(矩阵形式):构造性证明(矩阵形式):\\ 构造性证明(矩阵形式):﻿

递推式证明:先证明1xN形式的矩阵一定有非0解即[y1]=[a1a2...an][x1x2⋮xn]有不为零的解X然后递推将原矩阵加一行一列且满足如下形式依旧有非0解[1⋯bn0⋅⋅⋮⋅⋅0⋅⋅]将原矩阵非0解带入=[1b2...bn][xexx1x2⋮xn]求出横增广新增的X分量xex且此时仍有行数大于列数且对任意矩阵都有都可化成上述矩阵形式,故证只需满足行数小于列数就有非0解递推式证明:\\ 先证明1xN形式的矩阵一定有非0解\\ 即[y_1]=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} 有不为零的解X \\ 然后递推将原矩阵加一行一列且满足如下形式依旧有非0解 \\ \begin{bmatrix} 1 & \cdots & b_n \\ 0 & \cdot & \cdot \\ \vdots & \cdot & \cdot \\ 0 & \cdot & \cdot \end{bmatrix} \\
将原矩阵非0解带入\\ =\begin{bmatrix} 1 & b_2 & ... & b_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ex} \\ x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}求出横增广新增的X分量x_{ex}\\且此时仍有行数大于列数\\且对任意矩阵都有都可化成上述矩阵形式,故证只需满足行数小于列数就有非0解递推式证明:先证明1xN形式的矩阵一定有非0解即[y1​]=[a1​​a2​​...​an​​]⎣⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎤​有不为零的解X然后递推将原矩阵加一行一列且满足如下形式依旧有非0解⎣⎡​10⋮0​⋯⋅⋅⋅​bn​⋅⋅⋅​⎦⎤​将原矩阵非0解带入=[1​b2​​...​bn​​]⎣⎡​xex​x1​x2​⋮xn​​⎦⎤​求出横增广新增的X分量xex​且此时仍有行数大于列数且对任意矩阵都有都可化成上述矩阵形式,故证只需满足行数小于列数就有非0解﻿

向量组

定义:设为一个数域.KKK﻿中mmm﻿个数 a1a_1a1​﻿ 到 ama_mam​﻿ 组成的一个mmm﻿元有序数组,称mmm﻿维向量

定义:上全体mmm﻿维向量构成的集合记作 KmK^mKm﻿向量空间

加法—交换结合

0元素

负元素

数乘—分配

1元素