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§3.2 Part1 函数极限 MA
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§3.2 Part1 函数极限 MA
§3.2.1 基本定义和引入
(1) 标准极限 和 感性极限
引入
函数的类型有很多, 我们主要是研究 实函数
我们研究的函数类型: f:E→Rf: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{R}  其中 E⊂R\mathbb{E} \subset \mathbb{R}
感性的极限定义: 我们希望写出以下表述的含义：当点 x∈Ex \in E 接近 aa 时, 函数的值 f(x)f(x) (接近某数 AA 这个数自然就称为函数 ff 的值的极限, 或函数 ff 在 xx  趋于 aa 时的极限
🆕函数极限定义
 For a Specific Funtion f:E→R,E⊂R \text{ For a Specific Funtion }f: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{R} ,\mathbb{E} \subset \mathbb{R} 
我的惯用描述法: ∀ϵ>0,∃δ>0,  Let: 0<∣∀x−a∣<δ Have: ∣f(x)−A∣<ϵ\forall \epsilon>0 , \exist \delta >0 ,\ \text{ Let: } 0<|\forall x -a | < \delta \text{ Have: } |f(x)-A| < \epsilon
课本标准定义: ∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈E(0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−A∣<ϵ)\forall \epsilon> 0 , \exists \delta > 0, \forall x \in E ( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f (x) - A | < \epsilon ) 
🆕函数极限的符号(感性定义)
如果 AA 是 xx 趋于 aa 的时候 f(x)f(x) 的极限, 采用如下记号
我们将 “ xx 趋于 aa “ 记作: x→ax \rightarrow a
“趋于”形式的感性定义: x→a,x∈Ex \rightarrow a , x \in E时候 f(x)→Af(x) \rightarrow A
或者 lim⁡E∋x→af(x)=A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A
可以将 lim⁡\lim  符号看成一个别样的蕴含符号 即 (x→a  ⟹  f(x)→A)  ⟺  lim⁡E∋x→af(x)=A (Not Strictly) (x \rightarrow a \implies f(x) \rightarrow A) \iff \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A \text{ (Not Strictly) }
这里的等于号应该理解成”趋于”即 lim⁡E∋x→af(x)→A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) \rightarrow A 
🤔极限记号中顺序的思考
极限中标准定义和”趋于”定义的描述顺序的差异
极限定义上看: 是值集合到定义集合 的一个映射 ∀U(A),∃U(a), Let f(U(a))⊂U(A)\forall U(A) , \exist U(a) , \text{ Let } f(U(a)) \subset U(A)
但是从感性上分析, 是先有 x→ax \rightarrow a , 才有 f(x)→Af(x) \rightarrow A
更符合严谨的定义记号应该是 (f(x)→A  ⟹  x→a)(f(x) \rightarrow A \implies x \rightarrow a ) 记作lim⁡f(x)→Ax→a\lim\limits_{ f(x)\rightarrow A} x \rightarrow a
极限记号定理: 极限的唯一性
但是, 如果我们能补充某些信息, 使得 AaA \quad a 对应, 就可以按正常的顺序书写
🤔首先我们在数列极限中知道极限的唯一性(可推广至函数极限: 这是我们极限记号的基础. 一个aa 对应 一个 AA)(所以一定可以正常顺序)
其他使得 极限记号顺序变得合理 的思路
区间的排中律? 函数对集合的保单调性?
AA 可视作 aa 的函数, (极限的唯一性) , 但是 ϵ δ\epsilon\ \delta 的关系是不同的?
🤔“趋于” 和 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0 的关系
对比一下 标准定义∀ϵ>0\forall \epsilon>0 和 “趋于”
趋于像是一个过程
而 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0 则时相当于描述了一个 所有可能的过程
(2) 邻域极限
邻域定义的引入
📐证明 lim⁡E∋x→0x∗sin1x→0\lim \limits_{E\ni x \rightarrow 0} x*sin\frac{1}{x} \rightarrow 0 
即证明如下 ∀ϵ>0,∃δ>0, Let ∀∣x−0∣<δ Have: ∣xsin1x−0∣<ϵ\forall \epsilon>0 , \exist \delta>0 , \text{ Let } \forall |x-0| < \delta \text{ Have: } |xsin\frac{1}{x}-0| < \epsilon
取 δ(ϵ)=ϵ\delta (\epsilon) = \epsilon  则有 ∣xsin1x∣<∣x∣<δ(ϵ)=ϵ|xsin\frac{1}{x}| < |x| < \delta(\epsilon ) = \epsilon k
考察一个事实: lim⁡E∋x→0x∗sin1x→0\lim \limits_{E\ni x \rightarrow 0} x*sin\frac{1}{x} \rightarrow 0 
可以发现, 即使 f(a)f(a) 没有定义(此处是 a=0 a=0 ), 极限仍然可以存在 这种情况恰恰是在计算极限时最常见的
并且, 在极限的定义中已经用不等式 ∣x−a∣>0|x-a|>0 约束了 x≠ax\neq a ,反而和f(a)f(a) 无关
去心邻域的定义
U(a)U(a)  表示点 aa 的一个邻域 (德语 umgebung)
🆕 U˚(a):=U(a)/a\mathring{U}(a) : = U(a) /a 称作去心邻域
🆕 U˚E(a):=U(a)∩E\mathring{U}_E(a) : = U(a) \cap E 称作点 aa 在 EE 上的去心邻域
🆕U˚Eϵ(a)\mathring{U}^\epsilon_E(a)  称作点 aa 在 EE 上 长度为 2∗ϵ2* \epsilon 的去心邻域
🆕邻域式的函数极限定义
设 f:E→Rf: E \rightarrow \mathbb{R}
(lim⁡E∋x→af(x)→A):=∀URϵ(A)∈{UR(A)},∃U˚Eδ(a)∈{U˚E(a)}(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) \rightarrow A ):= \forall U^\epsilon_R(A) \in \{U_R(A)\} , \exist \mathring{U}^\delta_E(a) \in \{\mathring{U}_E(a) \} 
 Let: (f(U˚Eδ(a))⊂Uϵ(A)) \text{ Let: } (f(\mathring{U}^\delta_E(a)) \subset U^\epsilon(A))
几种函数极限定义的比较
在估计函数值时, 最初的表述形式比较方便: 因为它指出了使 f(x)f(x) 对 AA 的偏差 ∣f(x)−A∣|f(x)-A| 不超过给定值时 , 对 ∣x−a∣|x-a| 的容许偏差值
而从推广极限概念的观点看: 即当考虑定义域不是数集的更一般的函数的极限时 邻域的极限表示更合适
如果在集合中给定了 邻域 的概念, 我们称给定了 “拓扑” , 那么我们可以定义极限
(3) 函数极限和数列极限关系
函数极限数列极限的充要关系
✅定理内容
关系式 lim⁡E∋x→af(x)=A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A 成立的充要条件是: 对于任何由点 xn∈E\ax_n \in E \backslash a 组成且收敛于 aa 的序列 {xn}\{x_n\} , 复合数列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 收敛于 AA
即 (lim⁡E∋x→af(x)=A)  ⟺  (lim⁡n→∞xn=a)∧(xn≠a)  ⟹  lim⁡n→∞f(xn)=A(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A ) \iff\\ (\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_n = a)\land(x_n \neq a) \implies \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = A
📐充分性证明: lim⁡E∋x→af(x)=A  ⟹  lim⁡n→∞f(xn)=A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A \implies \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = A 
设 lim⁡E∋x→af(x)=A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A 则有 ∀ϵ1>0,∃δ>0 Let: f(a±δ)⊂(A±ϵ)\forall \epsilon_1 >0 , \exist\delta >0\text{ Let: } f( a \pm \delta) \subset (A \pm \epsilon)
设 lim⁡n→∞xn=a\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_n = a , 则有 ∀ϵ2>0,∃(n0,∞) Let: x(n0,∞)⊂(a±ϵ)\forall \epsilon_2 >0 , \exist (n_0 ,\infty) \text{ Let: } x(n_0,\infty) \subset (a \pm \epsilon)
将函数命题中 那个存在的 ∃δ\exist\delta 用作下面极限命题的一个给  For a specific given ϵ2=δ \text{ For a specific given } \epsilon_2 = \delta
∀ϵ1>0,∃δ>0, For a given ϵ1=δ,∃(n0,∞), Let: x(n0,∞)⊂(a±ϵ), f(a±δ)⊂(A±ϵ)\forall \epsilon_1 >0 , \exist\delta >0 , \text{ For a given } \epsilon_1 = \delta , \exist (n_0,\infty) , \\ \text{ Let: } x(n_0,\infty) \subset (a \pm \epsilon) , \ f( a \pm \delta) \subset (A \pm \epsilon)
  ⟹   f(x(n0,∞))⊂f(a±δ)⊂(A±ϵ)\implies \ f(x(n_0,\infty))\subset f( a \pm \delta) \subset (A \pm \epsilon)
📐必要性证明: lim⁡E∋x→af(x)=A  ⟸  lim⁡n→∞f(xn)=A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A \impliedby \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = A ) (归谬法) 证明p→qp \to q  只需要证明 (¬q∧p)→False(\neg q \land p )\to False
设 lim⁡E∋x→af(x)≠A\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) \neq A , 而 lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = A
当函数极限不是 AA 时候, ∃(A±ϵ),∀(a±δ), Let f(a±ϵ)⊄(A±ϵ)\exist (A \pm \epsilon) , \forall (a\pm\delta) , \text{ Let } f(a\pm \epsilon ) \not\subset (A \pm \epsilon) 
这里∀…\forall \dots 代表的是 {(a±δ)′∈2R∣δ>0} \{ (a\pm\delta)' \in 2^\mathbb{R}| \delta >0\} 中的所有元素. (每个元素都是 aa 的去心邻域),
我们取{δ}={1/n∣n∈N}\{\delta\} = \{ 1/n | n \in N\} 可取的δ\delta集合从全体R+\mathbb{R_+} 限制到 1n\frac{1}{n} 的取值 原命题依旧成立 . 即 部分特称实例 将∀ϵ>0 Replace As ∀n∈N,ϵ=1/n\forall \epsilon >0 \text{ Replace As } \forall n \in N , \epsilon =1/n 
∃(A±ϵ0),∀(a±1/n0) Let: f(a±1/n0)⊄(A±ϵ0)\exist (A\pm \epsilon_0) , \forall (a\pm 1/n_0) \text{ Let: } f (a \pm 1/n_0) \not\subset (A \pm \epsilon_0)
我们同时令 xn=(a+a+1n)/2=a+12nx_n = (a + a+\frac{1}{n})/2 = a +\frac{1}{2n}  则有 ∀(n0,∞), Have x(n0,∞)⊂(a±1/n0)\forall (n_0, \infty) , \text{ Have } x(n_0,\infty) \subset (a \pm 1/n_0)
即 ∃(A±δ),∀(n0,∞) Let: f(x(n0,∞))⊂f(a±1/n0)⊄(A±ϵ)\exist (A \pm \delta) , \forall (n_0 , \infty) \text{ Let: } f(x(n_0,\infty)) \subset f(a \pm 1/n_0) \not\subset (A \pm \epsilon) 
即 {xn}\{x_n\} 趋于 aa, 但是 复合数列 {f∘x(n)}\{f\circ x(n)\} 不趋于 AA 与题目矛盾
🤔证明中的关键 []
将量词中的 ∀…\forall \dots 替换成一个 ∀ϵ>0 Replace As ∀n∈N,ϵ=1/n\forall \epsilon >0 \text{ Replace As } \forall n \in N , \epsilon =1/n  命题依旧成立
函数映射的单调性 A⊂B  ⟹  f(A)⊂f(B)A \subset B \implies f(A) \subset f(B)
§3.2.2 函数极限性质
(1) 一般性质
一般性质引入
其中许多性质类似于已经证明的数列极限的性质, 我们己经有所了解
此外, 根据刚刚证明的 “函数极限和数列极限充要关系” 函数极限的许多重要性质显然直接得自数列极限的相应性质
包括极限的唯一性,极限的算术性质, 不等式的极限过程等
尽管如此, 我们还是再次给出全部证明
集合极限点的去心邻域的两个性质
🆕去心领域性质
U˚E(a)≠∅\mathring{U}_E(a) \neq \emptyset : 即去心邻域是非空集
∀u1,u2∈{U˚E(a)},∃u3∈{U˚E(a)} Let (u3⊂(u1∩u2))\forall u_1 ,u_2 \in \{ \mathring{U}_E(a) \} , \exist u_3\in \{ \mathring{U}_E(a) \} \text{ Let } (u_3 \subset (u_1 \cap u_2) ) 任意两个去心邻域的交集都还包含去心邻域
为何需要使用这两个性质
函数极限的一般性质证明只需要
这个结果引导我们不但给出函数极限的一般概念, 而且能够在将来拓展极限理论
常函数 最终常函数 最终有界函数
🆕常函数 f:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R} 其中 f(x)=C, C is a Constant Num f(x) = C , \text{ C is a Constant Num }
🆕最终常函数 f:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R} 如果在 EE 的一个极限点 ∃u∈{U˚(a)}\exist u \in \{\mathring{U}(a)\} 使得 有 ∀x∈u, Have f(x)=C \forall x \in u , \text{ Have } f(x)=C 那么我们称 ff 为最终常函数
🆕最终有界函数 f:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R} 如果在 EE 的一个极限点 ∃u∈{U˚(a)}\exist u \in \{\mathring{U}(a)\} 使得 有 ∀x∈u, Have ∣f(x)∣<C \forall x \in u , \text{ Have } |f(x)|<C 那么我们称 ff 为最终有界函数
🤔最终有界函数命题, 相当于极限命题中, 全称量词∀ϵ>0\forall \epsilon>0 的一个实例化后的命题 即 ∀C>0\forall C>0  都有以 P(C):=P(C):= 以C为上下界的最终有界命题成立.   ⟺  \iff 该函数有极限
一般性质
✅最终常函数极限存在: f:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R}  为一个最终常函数, x→ax \rightarrow a 时取得最终常值 AA 可得   ⟹  \implies (lim⁡E∋x→af(x)=A)(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A ) 
✅若x→ax \rightarrow a时函数极限存在, 则最终有界 即 (∃lim⁡E∋x→af(x))  ⟹  ( \exist \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) ) \implies  f:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R}  为一个最终有界函数, x→ax \rightarrow a 时取得最终有界
✅函数极限唯一:
可得 (lim⁡E∋x→af(x)=A1)∧(lim⁡E∋x→af(x)=A2)  ⟹  (A1=A2)(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)= A_1) \land (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)=A_2) \implies (A_1 = A_2)
函数极限算数
🆕函数的和积商定义:
设: f:E→R,g:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R} , g:E \rightarrow \mathbb{R} 
(f+g)(x):=f(x)+g(x)\left( f + g \right) \left( x \right) : = f \left( x \right) + g \left( x \right)
(f⋅g)(x):=f(x)∗g(x)\left( f \cdot g \right) \left( x \right) : = f \left( x \right) *g \left( x \right)
(fg)(x):=f(x)g(x)\left( \frac { f } { g } \right) \left( x \right) : = \frac { f \left( x \right) } { g \left( x \right) } 其中 g(x)≠0g(x) \neq 0
🤔🆕数集算数
A,B⊂P (P is a Num Set) A,B\subset P \text{ (P is a Num Set) }
A+B:={a+b∈P∣a∈A,b∈B}A+B := \{a+b \in P| a\in A,b \in B\}
AB:={ab∈P∣a∈A,b∈B}AB := \{ab \in P| a\in A,b \in B\}
显然区间也是数集, 故也可区间加法乘法同样遵守数集加法
我们由
✅函数极限的和积商
设: f:E→R,g:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R} , g:E \rightarrow \mathbb{R} 
lim⁡E∋x→af(x)=A,lim⁡E∋x→ag(x)=B \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A , \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x) = B
lim⁡E∋x→a(f+g)(x)=A+B\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a}\left( f + g \right) \left( x \right) =A+B
lim⁡E∋x→a(f⋅g)(x)=A∗B\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a}\left( f \cdot g \right) \left( x \right) = A*B
lim⁡E∋x→a(fg)(x)=A/B\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a}\left( \frac { f } { g } \right) \left( x \right) = A/B 其中 g(x)≠0g(x) \neq 0
📐证明: 重复数列极限运算的相关性质即可
只需要 重复关于数列极限算术性质的定理的证明 , 也可以得到这个定理.
这时必须改变之处仅仅在于,凡是我们以前选取 "∃n0∈N…""\exist n_0 \in N \dots" ，从它开始 要改为选取点 "∃U(a)∈{U(A)}""\exist U(a) \in \{U(A)\} "在集合五中的某个去心邻域 即可
📐证明2: 利用去心领域的性质, 以 lim⁡E∋x→a(f+g)(x)=A+B\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a}\left( f + g \right) \left( x \right) =A+B 为例
即证明 (lim⁡E∋x→af(x)=A)∧(lim⁡E∋x→ag(x)=B)  ⟹  (lim⁡E∋x→a(g+f)(x)=A+B)(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)= A) \land (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x)=B) \implies (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} (g+f)(x)=A+B)
有两个极限的性质知道
(lim⁡E∋x→af(x)=A):=∀uy∈{U(A)},∃ux1∈{U˚(a)} Let: (f(ux1)⊂uy)(lim⁡E∋x→ag(x)=B):=∀uy∈{U(B)},∃ux2∈{U˚(a)} Let: (g(ux2)⊂uy)(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)= A) := \forall u_y \in \{U(A)\} , \exist u_{x1} \in \{\mathring{U}(a)\} \text{ Let: } (f(u_{x1}) \subset u_{y} ) \\ (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x)= B) := \forall u_y \in \{U(B)\} , \exist u_{x2} \in \{\mathring{U}(a)\} \text{ Let: } (g(u_{x2}) \subset u_{y} ) 
由邻域性质得到 ∃u3∈{U˚(a)}, Let: u3⊂(ux1∩ux2)\exist u_3 \in \{\mathring{U}(a)\} , \text{ Let: }u_3 \subset (u_{x1} \cap u_{x2}) 
则有 ∀uy∈{U(A)},∃u3∈{U˚(a)} Let: (f(u3)⊂uy)∧(g(u3)⊂uy)\forall u_y \in \{U(A)\} , \exist u_{3} \in \{\mathring{U}(a)\} \text{ Let: } (f(u_{3}) \subset u_{y} ) \land (g(u_{3}) \subset u_{y} ) 
证明加法成立, 即证明 (f(u3)⊂uy)∧(g(u3)⊂uy)  ⟹  (f+g)(u3)⊂uy2∈{U(A+B)}(f(u_{3}) \subset u_{y} ) \land (g(u_{3}) \subset u_{y} ) \implies (f+g)(u_3) \subset u_{y2} \in \{U(A+B)\} 
上面推导, 结合数集运算 和 函数运算 是成立的, 后续不再做繁琐的说明
极限函数拆分
极限函数拆分:
🆕无穷小的定义: 若 lim⁡E∋x→af(x)=0 \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = 0 我们称f:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R}  为 x→ax \rightarrow a  的无穷小函数
✅内容: (lim⁡E∋x→af(x)=A)  ⟹  (f(x)=A+α(x))∧(lim⁡E∋x→aα(x)=0)(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)=A) \implies (f(x) = A +\alpha(x)) \land (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} \alpha(x)=0) 
📐拆分定理, α(x)=f(x)−A\alpha(x) = f(x) - A, 两端同取极限可证明
✅无穷小函数性质: (由函数极限运算立马可证明, 略证明)
无穷小加无穷小还是无穷小: lim⁡E∋x→a(αf+αg)(x)=lim⁡E∋x→aγ(x)=0\lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} (\alpha_f +\alpha_g)(x) = \lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} \gamma(x) =0
无穷小乘有任意极限存在函数为无穷小 lim⁡lim⁡E∋x→ag(x)=A  ⟹  lim⁡E∋x→a(αf∗g)(x)=0\lim\lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x) = A\implies\lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} (\alpha_f * g)(x) = 0
特例: lim⁡E∋x→a(αf∗K)(x)=0\lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} (\alpha_f * K)(x) = 0
用途: 也可通过这个定理去证明一般极限运算
📐极限运算证明3 ( 以加法规则为例子 )
求证: (lim⁡E∋x→af(x)=A)∧(lim⁡E∋x→ag(x)=B)  ⟹  (lim⁡E∋x→a(g+f)(x)=A+B)(\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)= A) \land (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x)=B) \implies (\lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} (g+f)(x)=A+B)
(g+f)(x)=f(x)+g(x)=A+B+αg(x)+αf(x)(g+f)(x) = f(x) + g(x) = A+B+\alpha_g(x)+\alpha_f(x)
lim⁡E∋x→a(g+f)(x)=A+B+lim⁡E∋x→a(αf+αg)(x)\lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} (g+f)(x)=A+B + \lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} (\alpha_f +\alpha_g)(x)
只需求证: lim⁡E∋x→a(αf+αg)(x)=0\lim\limits_{E\ni x \rightarrow a} (\alpha_f +\alpha_g)(x) = 0
只需要知道 极限为无穷小的函数之间的运算 就可以推导出极限为任意值的 运算
实现了 “特殊”(极限值固定) 向 “一般”(极限值任意) 的推导
(2) 极限过程与不等式
🤔最终函数全序关系:
考虑到 “最终数列” “最终常函数” “最终有界函数” . 我们也可以定义最终函数全序关系
🆕最终全序关系定义: ∀x∈u Let: ( f(x)<g(x) )\forall x \in u \text{ Let: }(\ f(x)<g(x)\ ) 我们称f(x)f(x) 在 x→ax \rightarrow a 最终小于 g(x)g(x)
注意: 这种最终关系往往自由一个 ∃…\exist \dots 的量词约束, 比起极限的命题要简单不少.
极限不等式关系
✅极限值不等关系   ⟹  \implies  最终函数不等关系
设 lim⁡E∋x→af(x)=A,lim⁡E∋x→ag(x)=B \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A , \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x) = B
A<B  ⟹  ∃u∈{U˚(a)},∀x∈u Let: ( f(x)<g(x) )A < B \implies \exist u \in \{\mathring{U}(a)\} ,\forall x \in u \text{ Let: }(\ f(x)<g(x)\ )
✅最终函数不等关系  ⟹   \implies 夹逼定理
设 f:E→R,g:E→R,h:E→Rf:E \rightarrow \mathbb{R} , g:E \rightarrow \mathbb{R} , h:E \rightarrow \mathbb{R} 
(f(x)≤g(x)≤h(x))∧(lim⁡E∋x→af(x)=C,lim⁡E∋x→ah(x)=C)  ⟹  lim⁡E∋x→ag(x)=C(f(x) \le g(x) \le h(x)) \land( \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x)= C, \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} h(x)= C ) \\\implies \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x)= C
📐极限值不等关系   ⟹  \implies  最终函数不等关系
取 CC 使得 A<C<BA<C<B 根据极限定义(将 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0  将全称量词实例化, 可证明结论)
lim⁡E∋x→af(x)=A  ⟺   For a specific ϵ=C−A ,∃u1∈{U˚(a)},∀x∈u Let: ( f(u1)⊂(A±(C−A)) ) lim⁡E∋x→ag(x)=B  ⟺   For a specific ϵ=∣B−C∣ ,∃u2∈{U˚(a)},∀x∈u Let: ( g(u2)⊂(B±∣B−C∣) ) \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A \iff\\ \text{ For a specific } \epsilon = C-A \ ,\exist u_1 \in \{\mathring{U}(a)\} ,\forall x \in u \\\text{ Let: }(\ f(u_1) \subset (A \pm (C-A))\ ) \\ ~\\ \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x) = B \iff\\ \text{ For a specific } \epsilon = |B-C| \ ,\exist u_2 \in \{\mathring{U}(a)\} ,\forall x \in u \\\text{ Let: }(\ g(u_2) \subset (B \pm |B-C|)\ )
取上面极限命题中存在的 u1,u2u_1, u_2 的交集 u3u_3 使得 ∃u3∈{U˚(a)}, Let: u3⊂(u1∩u2)\exist u_3 \in \{\mathring{U}(a)\} , \text{ Let: }u_3 \subset (u_{1} \cap u_{2}) 
则有 ∀x∈u3, Have: f(x)<A+(C−A)=C)∧C=(B−(B−C)<g(x)  ⟺  f(x)<C<g(x)\forall x \in u_3 , \text{ Have: } \\ f(x)<A+(C-A) =C ) \land C=(B-(B-C)<g(x) \\ \iff f(x) <C <g(x)
📐最终函数不等关系  ⟹   \implies 夹逼定理
全称量词实例化   ⟹  \implies ∃δ1>0,∀x∈(a±δ1) Have: (C−ϵ1<f(x)<C+ϵ1)\exist \delta_1 >0 , \forall x \in (a \pm \delta_1) \text{ Have: }(C-\epsilon_1 < f(x) < C+ \epsilon_1)
全称量词实例化   ⟹  \implies ∃δ2>0,∀x∈(a±δ2) Have: (C−ϵ1<h(x)<C+ϵ1)\exist \delta_2 >0 , \forall x \in (a \pm \delta_2) \text{ Have: }(C-\epsilon_1 < h(x) < C+ \epsilon_1)
使用去心邻域性质 ∀u1,u2∈{U˚E(a)},∃u3∈{U˚E(a)} Let (u3⊂(u1∩u2))\forall u_1 ,u_2 \in \{ \mathring{U}_E(a) \} , \exist u_3\in \{ \mathring{U}_E(a) \} \text{ Let } (u_3 \subset (u_1 \cap u_2) )
我们有 ∃u3⊂((a±δ1)∩(a±δ2)),u3≠∅\exist u_3 \subset ((a \pm \delta_1) \cap (a \pm \delta_2)) , u_3 \neq \emptyset 
故有 ∃δ3>0,∀x∈(a±δ3) Have: (C−ϵ1<f(x)≤g(x)≤g(h)<C+ϵ1)\exist \delta_3 >0 , \forall x \in (a \pm \delta_3) \text{ Have: }(C-\epsilon_1 < f(x) \le g(x) \leq g(h) <C+ \epsilon_1)
上述推论对所有 ϵ>0\epsilon>0 都适用, 可以全称量词引入
得到 lim⁡E∋x→ag(x)=C \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x) = C
极限不等式的几个一般化推论
✅定理内容
设lim⁡E∋x→af(x)=A,lim⁡E∋x→ag(x)=B \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} f(x) = A , \lim \limits_{E\ni x \rightarrow a} g(x) = B 在某个去心邻域中 u∈{U˚(a)}u \in \{\mathring{U}(a)\} 
若有 ∀x∈u\forall x \in u 如下某个前件 , 则有如下后件
f(x)>g(x)  ⟹  A≥Bf(x) > g(x) \implies A \geq B
f(x)≥g(x)  ⟹  A≥Bf(x) \ge g(x) \implies A \geq B
f(x)>B  ⟹  A≥Bf(x) > B \implies A \geq B
f(x)≥B  ⟹  A≥Bf(x) \ge B \implies A \geq B
🤔 (单调全序到偏序关系)   ⟹  \implies  (单调偏序到偏序关系)
f(x)>g(x)  ⟹  A≥Bf(x) > g(x) \implies A \geq B 即全序关系扩大到偏序关系时候(非严格单调)
考虑到 f(x)=g(x)  ⟹  A=Bf(x) = g(x) \implies A =B  是一个比较显然的结论( 只要满足函数关系 )
那么 f(x)≥g(x)  ⟹  A≥Bf(x) \geq g(x) \implies A \geq B 偏序到偏序的关系不需要证明可以直接得到
即单调性中 (单调全序到偏序关系)   ⟹  \implies  (单调偏序到偏序关系)
故我们只需要证明 iii 和 v 即可
(3) sin(x)/x 的极限
✅弧弦不等式: ∀∣x∣∈(0,π2) Have (cos⁡(x)2<sin⁡(x)x<1)\forall |x| \in (0,\frac{\pi}{2}) \text{ Have } ( \cos(x)^2<\frac{\sin(x)}{x}<1 )
🖼️ 证明图示
证明方法如下
📐方法一: 考虑弦长公式: a2+b2−2abcos⁡(ϕ)a^2 +b^2 -2ab\cos(\phi) 不好, 无法快速看出不等式的左边, 并且范围为 ∀∣x∣∈(0,π4)\forall |x| \in (0,\frac{\pi}{4}) 
由面积公式可以证明 弧长大于现场
弧长大于弦长   ⟹  \implies 2−2cos⁡(ϕ)<ϕ2  ⟺  2-2\cos(\phi)< \phi ^2 \iff 
  ⟺  \iff sin⁡(ϕ/2)2<ϕ2/4  ⟺  sinxx<1(∣ϕ∣<π/4)\sin(\phi/2)^2 < \phi^2/4 \iff \frac{sinx}{x}<1 (|\phi|<\pi/4)
📐方法二: 弧长大于弦长来源于面积, 考虑各个扇形和三角形面积
SFan OCD=12x∗cos⁡2xS_{Fan \ OCD} = \frac{1}{2} x * \cos^2{x} 
STri OAB=12sin⁡xS_{Tri \ OAB} = \frac{1}{2} \sin{x}
SFan OAB=12xS_{Fan \ OAB} = \frac{1}{2} x
显然有 12x∗cos⁡2x<12sin⁡x<12x\frac{1}{2} x * \cos^2{x} < \frac{1}{2} \sin{x} <\frac{1}{2} x
✅推论1: ∀x∈R(∣sin⁡x∣≤∣x∣)\forall x \in R (|\sin{x}| \le |x|) 且有 x=0x= 0 取等
✅推论2: lim⁡x→0sin⁡x=0\lim\limits_{x \to 0} \sin{x} = 0
📐利用推论1 构造 0<∣sin⁡x−0∣<∣x−0∣0<|\sin{x}-0|<|x-0| 故有两边同取极限. 由函数全序关系得到极限偏序关系(夹逼定理)
∀(0±ϵ), Let δ=ϵ/2, Have (1)(0±ϵ/2)⊂(0±ϵ)  ⟹  lim⁡x→0x=0\forall (0 \pm \epsilon) , \text{ Let } \delta = \epsilon/2 , \text{ Have } (1)( 0\pm \epsilon/2) \subset ( 0\pm \epsilon) \\ \implies \lim\limits_{x \to 0} x = 0
KEY: 由于 ∣sin⁡x∣≤∣x∣  ⟹  sin⁡(0±ϵ)⊂(1)(0±ϵ)|\sin{x}|\le |x|\implies \sin(0\pm\epsilon) \subset (1)(0 \pm \epsilon)
则有 ∀(0±ϵ), Let δ=ϵ/2, Have sin⁡(0±ϵ)⊂(1)(0±ϵ/2)⊂(0±ϵ)  ⟹  lim⁡x→0x=0\forall (0 \pm \epsilon) , \text{ Let } \delta = \epsilon/2 , \text{ Have } \\ \sin(0\pm\epsilon)\subset(1)( 0\pm \epsilon/2) \subset ( 0\pm \epsilon) \\ \implies \lim\limits_{x \to 0} x = 0
✅推论3: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}= 1ru
📐cos(x)2<sin⁡(x)x<1  ⟺  1−sin⁡2x<sin(x)x<1cos(x)^2<\frac{\sin(x)}{x}<1 \iff 1 - \sin^2{x} < \frac{sin(x)}{x} <1
cos(x)2<sin⁡(x)x<1  ⟺  1−sin⁡2x<sin(x)x<1cos(x)^2<\frac{\sin(x)}{x}<1 \iff 1 - \sin^2{x} < \frac{sin(x)}{x} <1
通过推论2可得不等式两边同取极限可知极限均为1 (夹逼定理)
故有 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}= 1
(4) 指数函数 对数函数 幂函数 定义
自然数集合上的指数函数
🆕定义: POW:R×N→RPOW: \mathbb{R} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R} 其中我们通过归纳原理定 POW(r,1)=r,POW(r,n+1)=POW(r,n)∗rPOW(r,1) = r , POW(r,n+1) = POW(r,n)*r 记作 POW(r,n)=rnPOW(r,n) = r^n
✅推论1: ∀m,n(m>n  ⟹  rm/rn=rm−n)\forall m,n (m>n\implies r^m / r^n =r^{m-n} )
整数集上的指数函数(借助推论1)
借助推论1, 可以看到我们接下来的定义合理性
现在我们将推论用作定义, 去掉m>nm>n 约束有 rm−n:=rm/rnr^{m-n}:= r^m/r^n
得到了a0=1,a−n=a0/an=a−na^0 =1 , a^{-n} = a^0/a^n = a^{-n}
相关定义
🆕逆元和 a0:=1a^0 := 1 和 a−n:=1/ana^{-n} := 1/a^n
🆕定义 am+n=am∗ana^{m+n} = a^m *a^n
有理数集上的指数函数
✅引理 ∀a>0,∀n∈N,∃!x>0 Let: xn=a\forall a>0 ,\forall n \in N , \exist! x >0 \text{ Let: } x^n =a  即任意正数的算数根唯一
📐证明: 使用实数理论的相关工具 (跟阿基米德原理很近似?)
POSITIVE NTH ROOTSHere we prove, using the completeness property ofR, that positiventh roots exist. Theproof is taken from Walter Rudin’s book “Principles of mathematical analysis.”Theorem.Letx >0be a positive real number. For every natural numbern≥1, thereexists a unique positiventh root ofx, which is to sayy >0∈Rsuch thatyn=x.Proof.Givenxwe construct a setSwhose supremum will be the desired elementy. LetS={t∈R:t >0, tn≤x}.First we claim thatSis nonempty. To see this, considert=x/(x+ 1); note thatt <1 andt < x. Sincet <1, it follows thattn−1<1, sotn< t < x,and thust∈S. Next, to show thatShas an upper bound, we consider the elementr=x+1;note thatr >1 andr > x. Sincer >1, it follows thatrn−1>1, and thenrn≥r > x,soris an upper bound: indeed, ift∈S, thentn≤x < rn, so we must havet≤r(otherwise,ift > r, then we would havetn> rn).By the completeness property ofR,Shas a supremum. Lety= sup(S).We now claim thatyn=x. To prove this, we will derive contradictions from the other twopossibilities, thatyn> xandyn< x. Both steps are somewhat unintuitive, and use thefollowing estimate(1)0< a < b=⇒bn−an<(b−a)n bn−1,∀n,which follows by estimatingak< bkin the formulabn−an= (b−a) (bn−1+bn−2a+···+ban−2+an−1)︸︷︷︸<n(bn−1).Supposeyn< x. Then we can choose a real numberhsuch that0< h <x−ynn(y+ 1)n−1, h <1.Indeed, (x−yn)>0 by assumption and the denominator is positive, and we can alwaysarrangeh <1 by making it smaller if necessary. Invoking the formula (1) witha=yandb= (y+h) gives(y+h)n−yn< h n(y+h)n−1<(x−yn)n(y+h)n−1n(y+ 1)n−1<(x−yn)n(y+ 1)n−1n(y+ 1)n−1=x−yn.Cancelling theynterms from both sides, we obtain (y+h)n< x, soy+h∈Sand sincey < y+hthis contradicts the fact thatyis an upper bound forS.1
🆕我们可以定义 (a1n)n=a(a^\frac{1}{n} ) ^n = a 并有 amn=(a1n)ma^\frac{m}{n} = (a^\frac{1}{n})^m 完成了
我们以有理数为指数函数的几个规律
✅ 定义于自然数上的POW 底数部分全序到全序 的单调性
单调性: ∀x,y>0,n∈N Have: x<y  ⟺  xn<yn\forall x,y>0 , n \in N \text{ Have: }x < y \iff x^n < y^n  (归纳原理可证明)
单射性: 于是我们有 ∀x,y>0 Have: x=y  ⟺  ax=ay\forall x,y>0 \text{ Have: }x = y \iff a^x = a^y  (单射性)
在 Q上 证明运算规律( 将整数上的运算规律推广 )
✅amknk=amna^\frac{mk}{nk} = a^\frac{m}{n}
✅am1n1+m2n2=am1n1∗am2n2a^{\frac{m1}{n1}+\frac{m2}{n2}} = a^{\frac{m1}{n1}} * a^{\frac{m2}{n2}} 即f(a+b)=f(a)∗f(b)f(a+b) = f(a) * f(b) ∀r1,r2∈Q(ar1∗ar2=ar1+r2)\forall r1 ,r2 \in Q (a^{r1}*a^{r2} = a^{r1+r2})
✅ 定义于Q上的POW 指数部分 全序到全序 的单调性即 ∀a>0(r1<r2  ⟹  ar1<ar2)\forall a>0(r_1 < r_2 \implies a^{r1}<a^{r2} )
📐引理: (q∈Q+)∧(a>1)  ⟺  aq>1(q\in Q_+ )\land (a>1) \iff a^q >1 证明
由定义于自然数上 全序到全序 的单调性可知 有 1<a  ⟺  (1)n<(a1/n)n  ⟺  1<a1n,m∈N1<a \iff (1)^n<(a^{1/n} )^n \iff 1<a^\frac{1}{n} , m \in N
且有 amn=(a1n)m>1m=1,m∈Na^\frac{m}{n} = (a^\frac{1}{n})^m > 1^m =1 ,m \in N
即 ∀m,n∈N,∀a>1 Have amn>1\forall m,n \in N ,\forall a>1 \text{ Have } a^\frac{m}{n} >1
故有 a>1  ⟺  (aq>1)∧(q∈Q+)a>1 \iff (a^q>1) \land (q \in Q_+)
📐 r1<r2  ⟹  ar1<ar2r_1 < r_2 \implies a^{r1}<a^{r2}  其中 a>1a>1
ar2=ar1∗ar2−r1>ar1∗1a^{r2} = a^{r1}*a^{r2-r1} > a^{r1}*1
综上则有 ar2>ar1a^{r2}>a^{r1}
3.2.3 函数极限推广定义(基上极限)
(1) 基定义
🆕基(滤子基)的定义
设集合XX 的某些子集 B⊂XB \subset X 构成集合族 B\Beta 称为集合 XX  的基 满足如下两个条件
∀B∈{B}(B≠∅)\forall B \in \{B\} (B \neq \emptyset)
∀B1,B2∈{B},∃B3∈{B} Let: (B3⊂B1∩B2)\forall B_1,B_2 \in \{B\} , \exist B_3 \in \{B\} \text{ Let: } (B_3 \subset B_1 \cap B_2)
常见的基
{B}:=x→a\{B\}:=x \to a 读作 xx 趋向于 aa. 基中的元素是 aa 的去心邻域
{B}:=x→∞\{B\}:=x \to \infty 读作 xx 趋向于 ∞\infty. 基中的元素是集合形似如下的集合 {x∈R∣∣x∣>δ}\{x \in R | |x|>\delta\} 不同的一个 δ\delta  确定一个基的元素
滤子极限(Limit over Filter)引入
滤子在数学中是指偏序集合的特殊子集
这里所用的术语“基”是数学名词“滤子基”的简写 由 法国现代数学家H.嘉当所创立的滤子极限概念
🆕 滤子极限定义
考虑 f:X→Rf:X \to \mathbb{R} 是集合XX 上的函数 {B}\{B\} 是集合XX中的基
便捷的邻域形式:  For a specific number a ,∀(a±ϵ),∃B0∈{B}, Let (f(B)⊂(a±ϵ)) \text{ For a specific number a }, \forall (a \pm \epsilon) , \exist B_0 \in \{B\} , \text{ Let } (f(B)\subset (a \pm \epsilon))
标准的邻域形式  For a specific number a ,∀U(a),∃B0∈{B}, Let f(B)⊂U(a) \text{ For a specific number a }, \forall U(a) , \exist B_0 \in \{B\} , \text{ Let } f(B)\subset U(a)
我们记作 lim⁡{B}f(x)=A\lim\limits_{\{B\}} f(x) =A
🤔 如果函数的值集合不是RR 而是任意集合YY 的时候. 如果 YY 上也能够定义基. 那么也有广义的滤子极限. 事实上 aa 的邻域 (a±ϵ)(a \pm \epsilon) 就是基中的一个元素
一些极限概念的重新定义
🆕广义极限: 趋于无穷大也是极限的一种: 考虑无穷邻域 x→+∞:={(a,+∞)∣∀a∈R}x \to +\infty := \{(a,+\infty)| \forall a \in R\} 也是一种基 可以定义广义的滤子极限. 故有如下记号成立 lim⁡{B}f(x)=+∞\lim\limits_{\{B\}} f(x) = +\infty
🆕最终常函数: ∃B∈{B},∀b∈B Let (f(b)=C)\exist B \in \{B\}, \forall b \in B \text{ Let }(f(b) = C) 读作在 基{B}\{B\} 上的最终常函数
🆕最终有界函数: ∃B∈{B},∀b∈B Let (∣f(b)∣<C)\exist B \in \{B\}, \forall b \in B \text{ Let }(|f(b)| < C)
🆕基上无穷小: lim⁡{B}f(x)=0\lim\limits_{\{B\}} f(x) =0
(2) 柯西准则 - 极限存在问题
集合的最大间距 与 集合到实数的映射方式
🆕我们定义如下的实用量 w(f,E)=sup⁡{∣f(x1)−f(x2)∣ ∣ ∀x1,x2∈E}=sup⁡f(E)−inf⁡(E)w(f,E) = \sup \{ |f(x_1) -f(x_2)| \ |\ \forall x_1,x_2 \in E\} = \sup f(E) - \inf (E) 任意两点 x1,x2∈Ex_1,x_2\in E 处的函数值之差的模的上确界
🆕第二定义: w(f,E)=sup⁡f(E)−inf⁡f(E)w(f,E)= \sup f(E) - \inf f(E)
🆕给出一个新记号: ME=sup⁡f(E),mE=inf⁡f(E)M_E = \sup f(E) , m_E = \inf f(E) 
✅柯西极限存在准则
考虑 f:X→Rf:X \to \mathbb{R} 是集合XX 上的函数 {B}\{B\} 是集合XX中的基
则有 ∃lim⁡{B}f(x)  ⟺  ∀ϵ>0,∃B∈{B} Let w(f,X)<ϵ\exist \lim\limits_{\{B\}} f(x) \iff \forall \epsilon>0 ,\exist B \in \{B\} \text{ Let } w(f,X) < \epsilon
🤔证明关键
对于基 {B}\{B\}中元素 BB 由于基的性质 当 inf⁡B,sup⁡B\inf B , \sup B 存在的时候, 我们有 ∀B1,B2∈{B}inf⁡B1≤sup⁡B2\forall B_1,B_2 \in \{B\} \inf B_1 \le \sup B_2 那么可以引入实数连续性 ∀B2,B1,∃A∈R, Let inf⁡B1≤A≤sup⁡B2\forall B_2,B_1, \exist A\in R , \text{ Let } \inf B_1\le A\le \sup B_2
a≤⋯≤x≤⋯≤b  ⟹  ∣x1−x2∣≤∣c−a∣a\le\dots\le x\le\dots \le b \implies |x_1-x_2|\le|c-a|
这种证明方式的抽象化需要概念 “完备空间” Y 即f:X→Yf:X \to Y  需要使用上述证明需要 YY 是一个完备空间
实数系相当于度量空间的完备化
📐证明充分性(  ⟹  \implies)
充分性的证明是比较简单的
由极限的定义可知 For a specific number a ,∀(a±ϵ),∃B0∈{B}, Let f(B)⊂(a±ϵ) \text{ For a specific number a }, \forall (a\pm \epsilon) , \exist B_0 \in \{B\} , \text{ Let } f(B)\subset (a\pm \epsilon)
考虑将 f(B)⊂U(a)f(B) \subset U(a) 展开成元素的形式, 以方便实用三角不等式 ∀x∈B,∣f(x)−a∣<ϵ\forall x \in B , |f(x)-a| <\epsilon
将极限命题重复两遍, 并将ϵ′=ϵ/3\epsilon' = \epsilon/3  (∀x1,x2∈B,∣f(x1)−a∣<ϵ′=ϵ/3)∧(∣f(x1)−a∣<ϵ′=ϵ/3)(\forall x_1,x_2 \in B , |f(x_1)-a| <\epsilon'=\epsilon/3) \land (|f(x_1)-a| <\epsilon' =\epsilon/3)
考虑三角不等式 ∣f(x1)−f(x2)∣<∣f(x1)−a∣+∣f(x2)−a∣<23ϵ<ϵ|f(x_1)-f(x_2)|<|f(x_1) -a|+|f(x_2) -a|<\frac{2}{3} \epsilon<\epsilon
那么充分性得证
📐证明必要性(  ⟸  \impliedby)
设 mB=inf⁡f(B),MB=inf⁡f(B)m_B = \inf f(B) , M_B = \inf f(B)
由于 B1∩B2≠∅B_1\cap B_2\neq \emptyset 结合界函数性质有如下性质 ∀B1,B2∈{B}(mB1≤mB1∩B2≤MB1∩B2≤MB2)\forall B_1,B_2 \in \{B\}(m_{B_1}\leq m_{B_1\cap B_2} \le M_{B_1\cap B_2} \le M_{B_2})
∀B1,B2∈{B},inf⁡B1≤sup⁡B2\forall B_1,B_2 \in\{B\} , \inf{B_1} \le \sup{B_2} 显然所有得inf⁡B,sup⁡B\inf B , \sup B 构成数集合{mB}={inf⁡B},{MB}={sup⁡B}\{m_B\}=\{\inf B \} ,\{M_B\}=\{\sup B \}
综上 ∀m∈{inf⁡B},∀M∈{sup⁡B}(m≤M)\forall m \in \{\inf B \} ,\forall M\in\{\sup B \} (m\le M)  由实数连续性可得 ∃A∈R Let (m≤A≤M)\exist A\in R \text{ Let }( m\le A\le M) 此处M,mM,m 量词约束和上面相同
由于 w(f,B)=MB−mBw(f,B) = M_B -m_B 当 0<w(f,B)<ϵ  ⟺  0<MB−mB<ϵ0<w(f,B) <\epsilon \iff 0<M_B-m_B <\epsilon
则有 ∣mB−A∣<ϵ,∣MB−A∣<ϵ  ⟹  ∀x∈B∣f(x)−A∣<ϵ|m_B-A|<\epsilon , |M_B-A| < \epsilon \implies \forall x\in B |f(x) - A|<\epsilon 
再补上 由 柯西准则引入的 ϵ>0\epsilon>0 的全称量化, 得到极限
(3) 复合函数的极限
✅定理内容
设 f:X→Y,g:Y→Rf: X \to Y , g:Y \to \mathbb{R} 
{BY}\{B_Y\}  为Y中的一个基 , 且g:Y→Rg:Y \to \mathbb{R} 在基{BY}\{B_Y\} 上有极限定义
{BX}\{B_X\}  为X中的一个基 , 且 ∀BY∈{BY},∃∀BX∈{BX} Let: f(BX)⊂BY\forall B_Y \in \{B_Y\} ,\exist \forall B_X \in \{B_X\} \text{ Let: } f(B_X) \subset B_Y 
那么有 f∘g(x):X→Rf \circ g(x) : X \to \mathbb{R} 在{BX}\{B_X\}基上有极限定义, 且有 lim⁡{BX}f∘g(x)=lim⁡{BY}g(y)\lim\limits_{\{B_X\}} f\circ g(x) = \lim\limits_{\{B_Y\}} g(y) 
证明定理
📐定理证明
考虑如下含全称量词的复合命题
(∀a∈A,∃b∈B, Let P(a,b))∧((∀b∈B,∃c∈C, Let G(b,c)))  ⟹  ∀a∈A,∃b∈B,∃c∈C, Let G(b,c)∧P(a,b)))(\forall a \in A , \exist b\in B , \text{ Let } P(a,b) ) \land ((\forall b \in B , \exist c\in C , \text{ Let } G(b,c) )) \\ \implies \forall a \in A , \exist b\in B ,\exist c \in C, \text{ Let } G(b,c)\land P(a,b) ))
这是复合函数存在的原始命题
我们将其中的 A,B,CA,B,C 换为 基 {BX},{BY},{U(a)}\{B_X\},\{B_Y\} ,\{U(a)\} P(a,b)∧G(b,c)P(a,b) \land G(b,c) 换为 (f(BX)⊂BY)∧(g(BY)⊂U(a))(f(B_X) \subset B_Y) \land (g(B_Y) \subset U(a) )
命题函数带入实际命题后 (f(BX)⊂BY)∧(g(BY)⊂U(a))  ⟹  f∘g(BX)⊂U(a)=(a±ϵ)(f(B_X) \subset B_Y) \land (g(B_Y) \subset U(a) ) \implies f \circ g(B_X) \subset U(a) = (a \pm \epsilon)
复合函数极限的存在性得到证明
🤔证明关键
本质上是 这个复合命题的成立 (∀a∈A,∃b∈B, Let P(a,b))∧((∀b∈B,∃c∈C, Let G(b,c)))  ⟹  ∀a∈A,∃b∈B,∃c∈C, Let G(b,c)∧P(a,b)))(\forall a \in A , \exist b\in B , \text{ Let } P(a,b) ) \land ((\forall b \in B , \exist c\in C , \text{ Let } G(b,c) )) \\ \implies \forall a \in A , \exist b\in B ,\exist c \in C, \text{ Let } G(b,c)\land P(a,b) ))
可以说上面这个复合命题的成立, 既证明了复合函数的存在性, 也证明了 复合函数极限的存在性
但是”方向”不同. 复合函数中是 ∀x∈X,∃r∈R,f(x,y)\forall x \in X , \exist r \in R , f(x,y) 记成 X→f(x,y)YX \overset{f(x,y)}\to Y
极限命题中则式 ∀x∈{BY},∃r∈{BX},lim⁡(x,y)\forall x \in \{B_Y\} , \exist r \in \{B_X\} , \lim(x,y) 可以 记成 {BY}⟶lim⁡(BX,By){BX}\{B_Y\} \overset{\lim(B_X,B_y)}\longrightarrow \{B_X\}
常见极限
✅证明 lim⁡x→+∞(1+1/x)x=e\lim\limits_{x \to + \infty}(1+1/x)^x = e
📐方法1: 证明 ( 使用复合函数极限法则 使得该函数和数列大小相同)
设 g(n)=(1+1/n)n,f(x)=[x]g(n) = (1+1/n)^n , f(x) = [x] 则有 g∘f(x)=(1+1/[x])[x]g \circ f(x) = (1+1/[x])^{[x]}
由于复合函数极限, 可以证明 lim⁡x→+∞(1+1/[x])[x]=lim⁡n→+∞(1+1/n)n=elim⁡x→+∞(1+1/([x]+1))[x]=lim⁡n→+∞(1+1/(n+1))n=elim⁡x→+∞(1+1/[x])[x]+1=lim⁡n→+∞(1+1/n)n+1=e\lim\limits_{x \to + \infty}(1+1/[x])^{[x]} = \lim\limits_{n \to + \infty}(1+1/n)^n = e \\ \lim\limits_{x \to + \infty}(1+1/([x]+1))^{[x]} = \lim\limits_{n \to + \infty}(1+1/(n+1))^{n} = e \\ \lim\limits_{x \to + \infty}(1+1/[x])^{[x]+1} = \lim\limits_{n \to + \infty}(1+1/n)^{n+1} = e 
且可以证明 (1+1/([x]+))[x]<(1+1/x)x<(1+1/[x])[x]+1(1+1/([x]+))^{[x]} <(1+1/x)^x <(1+1/[x])^{[x]+1} 
由夹逼定理可得lim⁡x→+∞(1+1/x)x=e\lim\limits_{x \to + \infty}(1+1/x)^x = e
✅推论1 lim⁡x→−∞(1+1/x)x=e\lim\limits_{x \to - \infty}(1+1/x)^x = e
📐 使用复合函数极限一步步代换即可
lim⁡x→−∞(1+1/x)x=lim⁡−t→−∞(1+1/−t)−t=lim⁡t→+∞(1+1t−1)t\lim\limits_{x \to - \infty}(1+1/x)^x = \lim\limits_{-t \to - \infty}(1+1/-t)^{-t} = \lim\limits_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t}
=lim⁡t→+∞(1+1t−1)t−1∗lim⁡t→+∞(1+1t−1)=lim⁡t→+∞(1+1t−1)t−1= \lim\limits_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1} *\lim\limits_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1}) = \lim\limits_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1} 
=lim⁡u→+∞(1+1u)u=\lim\limits_{u \to + \infty}(1+\frac{1}{u})^{u} 
✅推论2 lim⁡x→+∞(1+1x)x=lim⁡x→−∞(1+1x)x=e  ⟺  lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x \to + \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = \lim\limits_{x \to - \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} =e \iff \lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} =e
✅推论3 lim⁡x→0(1+x)1/x=e\lim\limits_{x \to 0}(1+x)^{1/x} = e  只需要令 x=1/tx =1/t 得到推论2
(4) 单调函数极限
🆕单调函数定义
设 f:E→Rf:E \to \mathbb{R} 其中 E⊂RE \subset R 
递增函数: ∀x1,x2∈E(x1<x2  ⟹  f(x1)<f(x2))\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2))
不减函数: ∀x1,x2∈E(x1<x2  ⟹  f(x1)≤f(x2))\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2))
递减函数: ∀x1,x2∈E(x1<x2  ⟹  f(x1)>f(x2))\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)> f(x_2))
不减函数: ∀x1,x2∈E(x1<x2  ⟹  f(x1)≥f(x2))\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2))
✅单调函数极限存在准则( 以不减函数 为例子 )
设集合 EE 上的不减函数 f:E→Rf:E \to \mathbb{R} 
设 i=inf⁡E,s=sup⁡Ei = \inf E, s = \sup E 为 EE 的极限点 其中 i,si , s  表示一种基中的公共元素. 即i,si,s 代表一个数或 符号 +∞,−∞+\infty ,-\infty 
当 x→sx \to s 其有极限   ⟺  \iff 有上界
当 x→ix \to i 其有极限   ⟺  \iff 有下界
证明( 以 当 x→s=sup⁡Ex \to s = \sup E 其有极限   ⟺  \iff 有上界 ) 为例子
📐(  ⟹  )(\implies) 充分性证明: 极限中给定一个特殊的 ϵ\epsilon ,得到最终有界性质
∀ϵ>0,∃B0∈{B} Let f(B)⊂(A±ϵ)\forall \epsilon > 0 ,\exist B_0 \in \{B\} \text{ Let } f(B) \subset (A \pm \epsilon)
全称引入 ∃B0∈{B} Let f(B)⊂(A±1)\exist B_0 \in \{B\} \text{ Let } f(B) \subset (A\pm 1)  证明是最终有界函数
x→sup⁡Ex \to \sup E 这个特殊基性质 ∀B∈{x→sup⁡E},∀x∈E/B,∀y∈B Have x<y\forall B \in \{x\to \sup E\} , \forall x \in E/B ,\forall y \in B \text{ Have } x < y
结合上面的性质, 若 ff  不减函数则有 ∀x∈E/B,∀y∈B Have f(x)≤f(y)\forall x \in E/B , \forall y \in B \text{ Have } f(x) \le f(y)
📐(  ⟸  )(\impliedby) 有界得到极限: 有界必有确界→确界定义的运用找到x0x_0 →单调性应用找到基得到极限表述
有界必有上确界 , 即 ∃a∈R, Let sup⁡f(E)=a\exist a \in R , \text{ Let } \sup f(E) = a
设 B∈{x→s}B \in\{ x \to s\}  则有 B⊂E  ⟹  f(B)⊂f(E)  ⟹  sup⁡f(B)≤sup⁡f(E)=aB \subset E \implies f(B) \subset f(E ) \implies \sup f(B) \le \sup f(E) = a 故 sup⁡f(B)\sup f(B)  极限存在
根据上确界的定义 ∀ϵ>0,∃x0∈B Let: A−ϵ<f(x0)≤A\forall \epsilon>0 , \exist x_0 \in B \text{ Let: } A- \epsilon <f(x_0) \le A
由于函数单调性 ∀ϵ>0,∃x0∈B,∀x>x0 Let: A−ϵ<f(x0)<f(x)≤A\forall \epsilon>0 , \exist x_0 \in B , \forall x>x_0 \text{ Let: } A- \epsilon <f(x_0) < f(x)\le A
极限命题得证
🤔界函数几个性质思考 → 跟上面的证明无关
界函数的广义单调性 X⊂E  ⟹  sup⁡X≤sup⁡EX \subset E \implies \sup X \le \sup E 故EE 的所有子集都有上界
sup⁡A>sup⁡B  ⟺  ∀b∈B,∃a∈A, Let a>b\sup A > \sup B \iff \forall b \in B , \exist a \in A , \text{ Let } a>b
∀a∈A,∀b∈B Let: a<b  ⟹  sup⁡A≤inf⁡B  ⟺  ∀a∈A,∀b∈B Let a≤b\forall a \in A , \forall b \in B \text{ Let: } a<b \implies \sup A \le \inf B \iff \forall a \in A , \forall b \in B \text{ Let } a\le b
(5) 函数渐进理论 - 相对无穷
基上最终成立
🆕 性质 PP 在基上 {B}\{B\} 最终成立   ⟺  ∃B∈{B} Let: P(B)\iff \exist B \in \{B\} \text{ Let: } P(B)  即基中存在一个元素, 使得性质PP 在这个元素中成立
渐进性质就是最终成立某个性质: 我们到现在为止正是在这个意义下理解给定基上的最终常函数或最终有界函数, 最终成立某个性质, 也称渐进性质
该概念可以扩展: 比如 f(x)=g(x)∗h(x)f(x) = g(x)*h(x) 最终成立, 只需要在一个基中的元素上 成立由定义即可, 他们甚至可以有不同的定义域
相对无穷小
引入:
我们之前学习了 在基上无穷小的概念   ⟺  lim⁡{B}f(x)=0\iff \lim\limits_{\{B\}} f(x) = 0
那么扩展两个概念 相对无穷小 和 相对高阶无穷小
还有类似的概念 基上无穷
🆕相对无穷小:
如果 f(x)=g(x)∗α(x)f(x) = g(x) * \alpha (x) 在基{B}\{B\}上最终成立 , α(x)\alpha(x) 是基{B}\{B\}上的无穷小函数
称 ff  在基{B}\{B\}相对于 gg 的无穷小 记作f={B}o(g)f\underset{\{B\}}{=}o(g) 或 在基{B}\{B\} 上有f=o(g)f = o(g)
立马得到推论
✅(绝对)无穷小的等价表述: 在基{B}\{B\} 上有 f(x)=α(x)  ⟺  f(x)={B}o(1)f(x) = \alpha (x) \iff f(x) \underset{\{B\}}{=} o(1)
✅若g(x)g(x) 最终有界, 且有 f={B}o(g)f\underset{\{B\}}{=} o(g)   ⟹  lim⁡{B}f(x)=0  ⟺  f={B}o(1)\implies \lim\limits_{\{B\}}f(x) = 0 \iff f \underset{\{B\}}{=}o(1)
高阶无穷小
🆕概念定义: f={B}o(g)f \underset{\{B\}}{=} o(g)  若有 g={B}o(1)g \underset{\{B\}}{=} o(1)  即 gg 在基上无穷小, 那么称ff 是更高阶的无穷小
✅ f=α1(x)∗α2(x)f = \alpha_1(x)* \alpha_2(x) 故 ff 也是在基上无穷小的函数
基上无穷大:
🆕概念定义: ∀(y0,+∞),∃B∈{B}, Let f(B)⊂(y0,+∞)\forall (y_0 , +\infty) , \exist B \in \{B\} , \text{ Let } f(B) \subset (y_0,+\infty)
🆕相对无穷大: f,gf,g  都是基上无穷大函数, 且有 f={B}o(g)f \underset{\{B\}}{=} o(g) 则称 gg 在基{B}\{B\} 上相对于 ff 是更高阶的无穷大函数
加深理解一些例子
在基 x→0x \to 0 上 x2=x∗x=x→0o(x)x^2 = x*x \underset{x \to 0}{=} o(x)
在基 x→+∞x \to +\infty 上 x=x2∗1x=x→+∞o(x2)x = x^2*\frac{1}{x} \underset{x \to +\infty}{=} o(x^2)
发现1: 可以发现 x,x2x , x^2 在不同基上的表现是不同的, 指明基很重要
发现2: 其中 x2=x∗xx^2 = x*x 在 x→0x \to 0 有 x2x^2 是相对 xx 的高阶无穷小
相对无穷小 相对无穷大 相对高阶无穷小 相对高阶无穷大 概念存在的合理性
解释: 不应认为我们能够一劳永逸地选取幂函数 xnx^n 和某个数 nn (幂指数) 来描述任 何一个无穷小或无穷大的渐近性质
✅证明 lim⁡x→+∞xnax=0\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^n}{a^x} = 0 其中 a>1a>1
📐 ∀a>1,∀n∈Nlim⁡x→+∞xnax=0\forall a>1 , \forall n \in N\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^n}{a^x} = 0 的证明
n≤0n \le 0 时: 显然成立 ?
n>0n>0 时: 即 n∈Nn \in N  时令 ∀a>1,q=an  ⟹  ∀q>1 \forall a>1, q = \sqrt[n]{a} \implies \forall q>1
则有 lim⁡x→+∞xnax=lim⁡x→+∞(xqx)n=lim⁡x→+∞(xqx)∗⋯∗lim⁡x→+∞(xqx)n=0\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^n}{a^x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{x}{q^x})^n = \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{x}{q^x}) *\dots * \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{x}{q^x})^n = 0
即 xn=x→+∞o(ax)x^n \underset{x \to +\infty}{=} o(a^x)
也即 axa^x 在x→+∞x\to +\infty比 xnx^n 高阶的无穷大
✅推广1: ∀b∈R,∀a>1lim⁡x→+∞xbax=0\forall b \in R ,\forall a>1\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^b}{a^x} = 0 
即将上面的证明 ∀n∈N\forall n \in N  推广到 ∀b∈R\forall b \in R
📐夹逼定理即可 ∀ specific a,∃n0=[a]+1>a\forall \text{ specific a} , \exist n_0 = [a]+1 >a 使得 0<xbax<xn0ax0<\frac{x^b}{a^x} < \frac{x^{n0}}{a^x}  即可
✅推广2: ∀b∈R,∀a>1 lim⁡x→+0a−1/xxb=0\forall b\in R , \forall a>1\ \lim\limits_{ x \to +0} \frac{a^{-1/x}}{x^b} = 0 
基的几种等价表述: 即在 x→+0x \to +0  或 R+∋x→0R_+ \ni x \to 0 或 R+∋x→inf⁡R+R_+ \ni x \to \inf R_+
有 a−1/x=o(xb)a^{-1/x} = o(x^b)
📐使用复合函数极限定理 令x=1/t x = 1/t  即可
令 x=1/tx = 1/t ∀b∈R,∀a>1lim⁡1/t→+∞(1/t)ba1/t=0\forall b \in R ,\forall a>1\lim\limits_{ 1/t \to +\infty} \frac{(1/t)^b}{a^{1/t}} = 0 
令 lim⁡1/t→+∞(1/t)ba1/t=lim⁡t→+0a−1/ttb=lim⁡x→+0a−1/xxb=0\lim\limits_{ 1/t \to +\infty} \frac{(1/t)^b}{a^{1/t}} = \lim\limits_{ t \to +0} \frac{a^{-1/t}}{t^b} = \lim\limits_{ x \to +0} \frac{a^{-1/x}}{x^b} = 0 
🤔由相对高阶无穷大产生相对高阶无穷小的方法
该方法给出了产生一个产生高阶无穷小的系统方法 f={B}o(g)f \underset{\{B\}}{=} o(g) 且二者都是无穷大
✅推广3: ∀b>1lim⁡x→+∞log⁡axxb=0\forall b>1\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\log_ax}{x^b} = 0 
当a>1a>1 时候, 取 x=at/bx = a^{t/b} 根据复合函数极限定理可知 ∀b>1lim⁡x→+∞log⁡axxb=lim⁡t→+∞t/bat=1/b∗lim⁡t→+∞tat=0\forall b>1 \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\log_ax}{x^b} = \lim\limits_{t \to +\infty}\frac{t/b}{a^t} =1/b*\lim\limits_{t \to +\infty}\frac{t}{a^t} = 0
当 0<a<10<a<1 时候, 去 x=a−t/bx = a^{-t/b} 则 有∀b>1lim⁡x→+∞log⁡axxb=lim⁡t→+∞−t/ba−t=−1/b∗lim⁡t→+∞t1at=0\forall b>1 \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\log_ax}{x^b} = \lim\limits_{t \to +\infty}\frac{-t/b}{a^{-t}} =-1/b*\lim\limits_{t \to +\infty}\frac{t}{\frac{1}{a}^t} = 0
✅推广4: ∀b>0,xblog⁡ax=R+∋x→0o(1)\forall b>0 , x^b\log_a x \underset{R_+\ni x \to 0}{=}o(1)
当b>0b>0 时候, 取x=1/tx =1/t 则 有 lim⁡R+∋x→0xblog⁡ax=lim⁡t→+∞log⁡a1/ttb=lim⁡t→+∞−log⁡attb=0\lim\limits_{R_+ \ni x \to 0}x^b\log_a x = \lim\limits_{t \to + \infty}\frac{\log_a{1/t}}{t^b} = \lim\limits_{t \to + \infty}-\frac{\log_a{t}}{t^b} = 0
(6) 函数渐进理论 - 最终有界 - 最终同阶 - 最终等价
🆕相对最终有界: 当 f(x)=β(x)g(x)f (x) = \beta(x) g(x) 在基 {B}\{B\} 上最终成立, 其中β(x)\beta(x)  是基上最终有界函数, 我们称 相对最终有界, 记作 f={B}O(g)f \underset{\{B\}}{=} O(g)
🆕最终同阶函数 如果有 f={B}O(g)∧g={B}O(f)f \underset{\{B\}}{=} O(g) \land g \underset{\{B\}}{=} O(f) 我们说 ff  和 gg  在基上 {B}\{B\} 同阶的, 并记作f≍gf\asymp g 或者记为 f=Θgf \overset{\Theta}{=}g (算法中的符号)
🆕最终等价函数 f(x)=γ(x)g(x)f(x) = \gamma(x) g(x) 在基上最终成立, 且有 lim⁡γ(x)=1\lim \gamma(x) = 1 我们称 ff  和 gg  在基上渐进等价记作f∼gf \sim g
最终有界同阶函数间的不等式关系
✅相对最终有界 的不等式性质: ∃B∈{B},∃c Let: 0<∣f∣≤c∣g∣\exist B \in \{B\} ,\exist c \text{ Let: } 0< |f| \le c|g| 
✅最终同阶函数 的不等式性质 ∃B∈{B},∃c1,c2 Let: c1∣g∣≤∣f∣≤c2∣g∣\exist B \in \{B\} ,\exist c_1,c_2 \text{ Let: } c_1|g|\le |f| \le c_2|g| 
📐相对最终有界 的不等式性质 证明
f={B}O(g)f \underset{\{B\}}{=} O(g) 则有 f=β∗gf = \beta *g  其中 ∃c1,c2 Let: c2≤β≤c1\exist c_1, c_2 \text{ Let: }c_2 \le \beta \le c_1 
如果有 β\beta  不平凡 即β≠0\beta \neq 0 那么有 ∃c,0<∣β∣≤c\exist c , 0<|\beta|\le c
那么有 0<∣β∣∣g∣≤c∗∣g∣  ⟺  0<∣f∣≤c∗∣g∣0 < |\beta||g| \le c*|g| \iff 0< |f| \le c*|g| 
最后再将不等式去除有 −c∗∣g∣≤f≤c∗∣g∣-c *|g|\le f \le c* |g| 不等式不可能同时取等号( 即 c≠0c \neq 0  )
📐最终同阶函数 的不等式性质 证明
则有 ∃c1,c2 Let: 0<∣f∣≤c1∗∣g∣,0<∣g∣≤c2∗∣f∣\exist c_1 ,c_2 \text{ Let: }0< |f| \le c_1*|g| ,0< |g| \le c_2*|f| 
则有 ∃c1>0,c2>0 Let 1c2∣g∣<∣f∣<c1∣g∣\exist c_1>0,c_2>0 \text{ Let } \frac{1}{c_2}|g| <|f| <c_1|g|
数理逻辑引理 : {1/c2∣∀c2>0}={c2∣∀c2>0}\{1/c_2|\forall c_2>0\} = \{c_2|\forall c_2>0\}  即 1x:R+→R+\frac{1}{x} : R_+ \to R_+  双射故在全称量词下可以互相替换
故有∃c1>0,c2>0 Let: c2∣g∣<∣f∣<c1∣g∣\exist c_1>0,c_2>0 \text{ Let: } c_2|g| <|f| <c_1|g|
最终有界函数相关推论
那么有 ff  是最终有界函数   ⟺  \iff f=O(1)f = O(1)
最终相对无穷小, 最终等价函数都 可以导出 最终相对有界, 最终相对有界”条件” 更加宽松
最终有界函数相关推论
f∼g  ⟹  f≍gf \sim g \implies f \asymp g  若两函数等价, 他们必然同阶
f∼g  ⟹  lim⁡{B}f=lim⁡{B}gf \sim g \implies \lim\limits_{\{B\}} f =\lim\limits_{\{B\}} g  包括广义极限 lim⁡{B}f→∞\lim\limits_{\{B\}} f \to \infty (考虑到基性质即可)
若只有 f≍gf \asymp g 一般没有上述结论极限相等 (f=1,g=2,f≍gf =1 ,g =2 ,f\asymp g ) , 但是有 lim⁡{B}f(x)=0\lim\limits_{\{B\}} f(x) = 0  或 lim⁡{B}f(x)=∞\lim\limits_{\{B\}} f(x) = \infty  时, 我们有 f≍g  ⟹  lim⁡{B}g(x)=∞f \asymp g \implies \lim\limits_{\{B\}} g(x) = \infty
🤔 x→0x \to 0 和 x→∞x \to \infty  这两种基的特殊性 ( 以 x→0x \to 0 )
由于
最终同阶函数f=Θgf \overset{\Theta}{=}g 最终等价函数 f∼gf \sim g 均为等价关系, 满足等价定理(以最终同阶关系为例子)
自反性: f=Θff \overset{\Theta}{=}f
传递性: f=Θg∧g=Θh  ⟹  f=Θhf \overset{\Theta}{=}g \land g \overset{\Theta}{=}h \implies f \overset{\Theta}{=}h
交换性 f=Θg  ⟺  g=Θff \overset{\Theta}{=}g \iff g \overset{\Theta}{=}f
(7) 函数渐进理论 - 一些实例
最终有界的例子
x→∞,(1x+sin⁡x)x=O(x) But x≠O( (1x+sin⁡x)x )x\to \infty , (\frac{1}{x}+\sin x) x = O(x) \text{ But } x \neq O(\ (\frac{1}{x}+\sin x)x\ ) 即 x≭x(1x+sin⁡x)x \not\asymp x(\frac{1}{x}+\sin x)
最终等价函数 x→0,f(x)→0x \to 0 , f(x) \to 0  (即所谓的等价无穷小)
📐x∼ln⁡(1+x)x \sim \ln (1+x)
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=lim⁡x→0(1+x)1x=ln⁡lim⁡x→0(1+x)1/x=ln⁡e=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} (1+x)^\frac{1}{x} = \ln \lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = \ln e = 1 
使用了 lim⁡t→blog⁡ax=log⁡a(lim⁡t→bt)\lim\limits_{t \to b}\log_a x = \log_a(\lim\limits_{t \to b}t) 这个即初等函数连续, 详见指数函数的定义
📐推广1: ex−1∼xe^x - 1 \sim x
即证明 lim⁡x→0ex−1x=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 令 x=ln⁡(t+1)x = \ln(t+1)
那么有 lim⁡t→0t+1−1ln⁡(t+1)=lim⁡t→0tln⁡(t+1)=1\lim\limits_{t \to 0} \frac{t+1-1}{\ln(t+1)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\ln(t+1)} = 1
📐推广2: (1+x)α−1∼αx(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x
即证明 lim⁡x→0(1+x)α−1αx=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{\alpha x} = 1
上下同乘 ln(1+x)ln(1+x) 同时, 有(1+x)α=eαln⁡(1+x)(1+x)^\alpha = e^{\alpha \ln(1+x)}
那么有 lim⁡x→0(1+x)α−1αx=lim⁡x→0eαln⁡(1+x)−1αln⁡(x+1)αln⁡(x+1)αx=lim⁡t→0et−1t∗lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{\alpha x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha \ln(x+1) } \frac{\alpha \ln(x+1)}{\alpha x} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} * \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1
证明思路
🆕由于在x→0,f(x)→0,g(x)→0x \to 0 , f(x) \to 0 , g(x) \to 0 是同一个基, 那么有函数的任意复合, 在基上的极限都相同 即 lim⁡{B}f∘g={B}\lim\limits_{\{B\}}f \circ g = \{B\} ( 复合函数极限定理极限可证 )
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