设集合$X$ 的某些子集 $B \subset X$ 构成集合族 $\Beta$ 称为集合 $X$ 的基 满足如下两个条件

$\forall B \in \{B\} (B \neq \emptyset)$

$\forall B_1,B_2 \in \{B\} , \exist B_3 \in \{B\} \text{ Let: } (B_3 \subset B_1 \cap B_2)$

$\{B\}:=x \to a$ 读作 $x$ 趋向于 $a$. 基中的元素是 $a$ 的去心邻域

$\{B\}:=x \to \infty$ 读作 $x$ 趋向于 $\infty$. 基中的元素是集合形似如下的集合 $\{x \in R | |x|>\delta\}$ 不同的一个 $\delta$ 确定一个基的元素

滤子在数学中是指偏序集合的特殊子集

这里所用的术语“基”是数学名词“滤子基”的简写 由 法国现代数学家H.嘉当所创立的滤子极限概念

考虑 $f:X \to \mathbb{R}$ 是集合$X$ 上的函数 $\{B\}$ 是集合$X$中的基

便捷的邻域形式: $\text{ For a specific number a }, \forall (a \pm \epsilon) , \exist B_0 \in \{B\} , \text{ Let } (f(B)\subset (a \pm \epsilon))$

标准的邻域形式 $\text{ For a specific number a }, \forall U(a) , \exist B_0 \in \{B\} , \text{ Let } f(B)\subset U(a)$

我们记作 $\lim\limits_{\{B\}} f(x) =A$

如果函数的值集合不是$R$ 而是任意集合$Y$ 的时候. 如果 $Y$ 上也能够定义基. 那么也有广义的滤子极限. 事实上 $a$ 的邻域 $(a \pm \epsilon)$ 就是基中的一个元素

广义极限: 趋于无穷大也是极限的一种: 考虑无穷邻域 $x \to +\infty := \{(a,+\infty)| \forall a \in R\}$ 也是一种基 可以定义广义的滤子极限. 故有如下记号成立 $\lim\limits_{\{B\}} f(x) = +\infty$

最终常函数: $\exist B \in \{B\}, \forall b \in B \text{ Let }(f(b) = C)$ 读作在 基$\{B\}$ 上的最终常函数

最终有界函数: $\exist B \in \{B\}, \forall b \in B \text{ Let }(|f(b)| < C)$

基上无穷小: $\lim\limits_{\{B\}} f(x) =0$

我们定义如下的实用量 $w(f,E) = \sup \{ |f(x_1) -f(x_2)| \ |\ \forall x_1,x_2 \in E\} = \sup f(E) - \inf (E)$ 任意两点 $x_1,x_2\in E$ 处的函数值之差的模的上确界

第二定义: $w(f,E)= \sup f(E) - \inf f(E)$

给出一个新记号: $M_E = \sup f(E) , m_E = \inf f(E)$

考虑 $f:X \to \mathbb{R}$ 是集合$X$ 上的函数 $\{B\}$ 是集合$X$中的基

则有 $\exist \lim\limits_{\{B\}} f(x) \iff \forall \epsilon>0 ,\exist B \in \{B\} \text{ Let } w(f,X) < \epsilon$

对于基 $\{B\}$中元素 $B$ 由于基的性质 当 $\inf B , \sup B$ 存在的时候, 我们有 $\forall B_1,B_2 \in \{B\} \inf B_1 \le \sup B_2$ 那么可以引入实数连续性 $\forall B_2,B_1, \exist A\in R , \text{ Let } \inf B_1\le A\le \sup B_2$

$a\le\dots\le x\le\dots \le b \implies |x_1-x_2|\le|c-a|$

这种证明方式的抽象化需要概念 “完备空间” Y 即$f:X \to Y$ 需要使用上述证明需要 $Y$ 是一个完备空间

实数系相当于度量空间的完备化

设 $f: X \to Y , g:Y \to \mathbb{R}$

$\{B_Y\}$ 为Y中的一个基 , 且$g:Y \to \mathbb{R}$ 在基$\{B_Y\}$ 上有极限定义

$\{B_X\}$ 为X中的一个基 , 且 $\forall B_Y \in \{B_Y\} ,\exist \forall B_X \in \{B_X\} \text{ Let: } f(B_X) \subset B_Y$

那么有 $f \circ g(x) : X \to \mathbb{R}$ 在$\{B_X\}$基上有极限定义, 且有 $\lim\limits_{\{B_X\}} f\circ g(x) = \lim\limits_{\{B_Y\}} g(y)$

本质上是 这个复合命题的成立 $(\forall a \in A , \exist b\in B , \text{ Let } P(a,b) ) \land ((\forall b \in B , \exist c\in C , \text{ Let } G(b,c) )) \\ \implies \forall a \in A , \exist b\in B ,\exist c \in C, \text{ Let } G(b,c)\land P(a,b) ))$

可以说上面这个复合命题的成立, 既证明了复合函数的存在性, 也证明了 复合函数极限的存在性

但是”方向”不同. 复合函数中是 $\forall x \in X , \exist r \in R , f(x,y)$ 记成 $X \overset{f(x,y)}\to Y$

极限命题中则式 $\forall x \in \{B_Y\} , \exist r \in \{B_X\} , \lim(x,y)$ 可以 记成 $\{B_Y\} \overset{\lim(B_X,B_y)}\longrightarrow \{B_X\}$

证明 $\lim\limits_{x \to + \infty}(1+1/x)^x = e$

推论1 $\lim\limits_{x \to - \infty}(1+1/x)^x = e$

推论2 $\lim\limits_{x \to + \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = \lim\limits_{x \to - \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} =e \iff \lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} =e$

推论3 $\lim\limits_{x \to 0}(1+x)^{1/x} = e$ 只需要令 $x =1/t$ 得到推论2

设 $f:E \to \mathbb{R}$ 其中 $E \subset R$

递增函数: $\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2))$

不减函数: $\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2))$

递减函数: $\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)> f(x_2))$

不减函数: $\forall x_1,x_2 \in E (x_1 < x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2))$

设集合 $E$ 上的不减函数 $f:E \to \mathbb{R}$

设 $i = \inf E, s = \sup E$ 为 $E$ 的极限点 其中 $i , s$ 表示一种基中的公共元素. 即$i,s$ 代表一个数或 符号 $+\infty ,-\infty$

当 $x \to s$ 其有极限 $\iff$ 有上界

当 $x \to i$ 其有极限 $\iff$ 有下界

界函数的广义单调性 $X \subset E \implies \sup X \le \sup E$ 故$E$ 的所有子集都有上界

$\sup A > \sup B \iff \forall b \in B , \exist a \in A , \text{ Let } a>b$

$\forall a \in A , \forall b \in B \text{ Let: } a<b \implies \sup A \le \inf B \iff \forall a \in A , \forall b \in B \text{ Let } a\le b$

性质 $P$ 在基上 $\{B\}$ 最终成立 $\iff \exist B \in \{B\} \text{ Let: } P(B)$ 即基中存在一个元素, 使得性质$P$ 在这个元素中成立

渐进性质就是最终成立某个性质: 我们到现在为止正是在这个意义下理解给定基上的最终常函数或最终有界函数, 最终成立某个性质, 也称渐进性质

该概念可以扩展: 比如 $f(x) = g(x)*h(x)$ 最终成立, 只需要在一个基中的元素上 成立由定义即可, 他们甚至可以有不同的定义域

引入:

相对无穷小:

立马得到推论

概念定义: $f \underset{\{B\}}{=} o(g)$ 若有 $g \underset{\{B\}}{=} o(1)$ 即 $g$ 在基上无穷小, 那么称$f$ 是更高阶的无穷小

$f = \alpha_1(x)* \alpha_2(x)$ 故 $f$ 也是在基上无穷小的函数

概念定义: $\forall (y_0 , +\infty) , \exist B \in \{B\} , \text{ Let } f(B) \subset (y_0,+\infty)$

相对无穷大: $f,g$ 都是基上无穷大函数, 且有 $f \underset{\{B\}}{=} o(g)$ 则称 $g$ 在基$\{B\}$ 上相对于 $f$ 是更高阶的无穷大函数

在基 $x \to 0$ 上 $x^2 = x*x \underset{x \to 0}{=} o(x)$

在基 $x \to +\infty$ 上 $x = x^2*\frac{1}{x} \underset{x \to +\infty}{=} o(x^2)$

发现1: 可以发现 $x , x^2$ 在不同基上的表现是不同的, 指明基很重要

发现2: 其中 $x^2 = x*x$ 在 $x \to 0$ 有 $x^2$ 是相对 $x$ 的高阶无穷小

$o(f) + o(f) = o(f)$

$o(f)$ 也可以写成 $O(f)$

$o(f) + O(f) = O(f)$

$O(f) + O(f) = O(f)$

$\frac{o(f)}{g} = o(\frac{f}{g}) , \frac{O(f)}{g} = O(\frac{f}{g})$

相对最终有界 的不等式性质: $\exist B \in \{B\} ,\exist c \text{ Let: } 0< |f| \le c|g|$

最终同阶函数 的不等式性质 $\exist B \in \{B\} ,\exist c_1,c_2 \text{ Let: } c_1|g|\le |f| \le c_2|g|$

那么有 $f$ 是最终有界函数 $\iff$ $f = O(1)$

最终相对无穷小, 最终等价函数都 可以导出 最终相对有界, 最终相对有界”条件” 更加宽松

$f \sim g \implies f \asymp g$ 若两函数等价, 他们必然同阶

$f \sim g \implies \lim\limits_{\{B\}} f =\lim\limits_{\{B\}} g$ 包括广义极限 $\lim\limits_{\{B\}} f \to \infty$ (考虑到基性质即可)

若只有 $f \asymp g$ 一般没有上述结论极限相等 ($f =1 ,g =2 ,f\asymp g$) , 但是有 $\lim\limits_{\{B\}} f(x) = 0$ 或 $\lim\limits_{\{B\}} f(x) = \infty$ 时, 我们有 $f \asymp g \implies \lim\limits_{\{B\}} g(x) = \infty$

对于 $\forall B_1,B_2 \in \{B\}$ 除了满足 基定理 在基上集合中的元素定义了加法的情况下, 还有 如下定理

还满足如下性质 $\forall B_1 ,B_2 \in \{B\} , \exist B_3 \in \{B\}, \text{ Let: } B_3 \subset (B_1 + B_2 )$

自反性: $f \overset{\Theta}{=}f$

传递性: $f \overset{\Theta}{=}g \land g \overset{\Theta}{=}h \implies f \overset{\Theta}{=}h$

交换性 $f \overset{\Theta}{=}g \iff g \overset{\Theta}{=}f$

渐进等价是更严格的极限相同

极限相同是更严格的同阶函数

若 基上的极限就是基本身 那么函数的任意复合的极限存在且为基本身

由于 $f^{-1}( f(x) ) = x$

若有 $\lim\limits_{\{B_1\}}f(x) = \{B_2\}$ 即 $\forall b2 \in \{B_2\}, \exist b1 \in \{B_1\} \text{ Let: } f(b1) \subset b2$

若要使得 $f^{-1}$ 极限存在, 我们需要证明 $\forall b1 \in \{B_2\}, \exist b2 \in \{B_1\} \text{ Let: }\\ f^{-1}(b2) \subset b1 \iff f(f^{-1}(b2)) \subset f(b1) \iff b2 \subset f(b1)$

显然, 虽然两个命题中 $\forall x \exist y P(x)$ 中的谓词 $P(x)$ 有点相似, 但是约束的谓词完全不同, 所以不能完全等价

能否证明若反函数极限存在, 那么 $f^{-1}$ 在基 $\{B_2\}$ 上极限一定是 $\{B_1\}$ 而不能是其他的?

二者极限相同

二者极限的加强版本 - 二者渐进等价