邻域特指定义于 $R$ 上的子集: 包含点 $x\in R$ 的开区间称为该点的邻域.

我们一般习惯使用的广义邻域有三种指涉:

极限点: 果点$p \in R$ 的任何邻域都包含集合 $X \subset R$ 的一个无穷子集，点 $p$ 就称为集合 $X$ 的极限点.

极限点的等价表述: 在点 $p$ 的任何邻域中至少有一个点 $c$ 属于 $X$ 并且 $c \neq p$ 即 $\forall (p \pm \epsilon) \cap X ,\exist c \in X , \text{ Let } (c\in (p \pm \epsilon) \cap X) \land (c \neq p)$

其相反概念 孤立点的定义 $\exists (p \pm \epsilon) \cap X , \forall c \in X , \text{ Let: } (c \neq p \to c\notin (p \pm \epsilon) \cap X)$

孤立点概念的区间形式: $\exists (p \pm \epsilon)_X , \text{ Let: } (X)\cap ( p\pm \epsilon )_X = \{p\}$

何无穷有界数集至少有一个极限点.

证明如下

我们可以间 邻域和某个数集的交集记作 称作数集上邻域 记作 $U_E(a)$ 或 $(a \pm \epsilon)_E$

由于极限点相关理论. 数集上邻域有两种情况. 邻域中心点是数集的 极限点 或 孤立点

当邻域中心点 $p$ 是孤立点时候, $p$ 的去心邻域不是基

对极限的影响

孤立邻域: 我们将这个只包含该孤立点的邻域, 称作孤立邻域

第一种定义( (实数上)邻域形式 )

第二种定义( 数集上邻域的形式 )

$a$ 是定义集合 $X$ 的 孤立点 $\implies$$f$ 在 $a$ 点连续, : (使用去心邻域)

那么我们可以得知 连续这个概念 真正有价值部分在于 $a \in X$ 且 $a$ 是集合 $X$ 的极 限点的情形.

$a$ 是定义集合 $X$ 的极限点且, $f$ 在 $a$ 点连续 $\iff \lim\limits_{X \ni x \to a} f(x) = f(a)$

上面定理的等价表述:

含心邻域基: 为了不再区分孤立点和极限点两种情况的连续, 我们若将 (含心) 邻域作为极限的基记作 $X \ni x \Rightarrow a$

则有如下统一定理: 我们有 由 $f:X \to R$ 在 $a$ 点 连续 $\iff \exists \lim\limits_{X \ni x \Rightarrow a} f(x) \land \lim\limits_{X \ni x \Rightarrow a} f(x) = f(a)$

极限值不是任意值而是 $f(a)$

$\exist (a \pm \delta)$ 这个邻域不再是去心邻域$(\mathring{a} \pm \delta)$ 而是包含中心 $a$ 这要求 $f(x)$ 在$a$ 上要有定义, 所以我们的函数极限

当去心邻域不是基的时候, 没有函数极限(去心邻域), 但是其依旧连续

$f(x) = x$ 在 $R$ 上连续 有$\forall x_0 \in R, \forall \epsilon > 0 , \exist \delta = \epsilon , \text{ Let } |f(x) - f(x_0)| = |x -x_0| < \delta = \epsilon$

$f(x) = \sin x$ 在 $R$ 上连续

$f(x) = \cos x$ 在 $R$ 上连续

...

文字表述: 函数$f : X \to R$ 上某个点不连续,则称该点为函数的间断点

符号表述1: $\exists (f(a) \pm \epsilon) , \forall (a \pm \delta)_E \text{ Let } f(a \pm \delta) \not\subset (f(a) \pm \epsilon)$

符号表述2: $\exist U(f(a)) ,\forall U_E(a) , \exist x \in U_E(a) \text{ Let } f(x) \notin f(a)$

我们一般是通过 归谬法,设 $f(x)$ 在 $a$ 点连续

由于 $a$ 是定义集合的极限点, 我们有 $\lim\limits_{X \ni x \to a} f(x) = f(a)$

而题目已知 $\lim\limits_{X \ni x \to a} f(x) = B \neq f(a)$ 矛盾, 故有 $a$ 为 $f(x)$ 的间断点

第一类间断点: 如果 $\lim\limits_{X_+ \ni x \to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{X_- \ni x \to a} f(x)$ 都存在, 但是存在其中一个极限不等于 $f(a)$

第二类间断点: 如果 $\lim\limits_{X_+ \ni x \to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{X_- \ni x \to a} f(x)$ 两个极限中有一个极限不存在 (此处极限存在都指的是狭义极限 不包括 $\lim\limits_{X_+ \ni x \to a} f(x ) \to \infty$ )

可去间断点 定义: 若 $a \in X$ 是函数 $f:X \to R$ 的间断点, 并且满足 $f|_{X\backslash a} = \tilde{f} |_{X\backslash a}$ 的连续函数 $\tilde{f}:X \to R$ 存在, 则称 $a$ 为 $f$ 的可去间断点

跳跃不连续点：不连续点两侧函数的相等存在，但不相等

无穷间断点

震荡间断点

由于定义于端点, 虽然其去心邻域 $X \ni x \to a$ 有定义(极限点第二表述)

但是其 $X_- \ni x \to a$ 或 $X_+ \ni x \to a$ 其中一个没有定义, 所以导致 $\lim\limits_{X_- \ni x \to a} f(x)$ 或 $\lim\limits_{X_+ \ni x \to a} f(x)$ 其中一个没有定义, (有了定义, 才能谈是否存在)

那么可能会出现一种情况, 这个点是可去间断点, 但如果按极限没有定义, 视作极限不存在 他是第二类间断点?

由于连续在极限点上和极限的概念等价

分析其不连续的(间断点) 的分类, 就是分析极限不存在的的分类.

表达式形式

需要知道的引理:

证明如下

(类似于极限中的最终成立, 但是这里不是基而是邻域, 更加具体)

事实上, 大部分性质都是函数极限最终性质的另一表述, 可以由函数极限最终性质立马得出

局部有界 $\exists c\in \R,\exists (a \pm \epsilon), \text{ Let } f(a\pm \epsilon) \subset (0\pm c)$

局部同号 $f(a) \neq 0 \implies \exists (a\pm \epsilon) , \text{ Let: } \forall x \in (a\pm \epsilon) , f(x)*x>0$

连续函数之间运算, 连续性保持不变 设 $f ,g$ 为在点 $a$ 的连续函数, 且在某个邻域内都定义. 则有 $f+g , f *g ,f/g(g(a \neq 0))$ 仍然为连续函数

复合函数的连续性

复合函数的连续性推论:

如果一个函数在一个闭区间上连续, 并且在其两端点取异号的值 则该函數在该闭区间上有零点

符号定义: $(f\in C[a,b])\land(f(a)*f(b)<0) \implies \exist c \in [a,b] , \text{ Let } f(c) =0$

考虑 $f : [1,2] \cup[2.3] \to R$ 且有 $f$ 在定义域上连续, 且

这种特殊的性质的抽象理解: 所表达的连续函数的性质其实产生于其定义域的某种性质 (以后将阐明，该集合应当是连通的).

把闭区间平分为两个闭区间. 如果函数在平分点不等于零,则它在所得两个闭区间中的一个闭区间的两端点取异号的值.现在对这个闭区间重复上述过程,即再把它平分为二, 然后不断重复, 得到一组闭区间套,

其左右端点构成数列 $\{x_{n}\} , \{y_{n}\}$ 具有如下性质

由于 单调有界数列必有极限 可知 $\exists \lim\limits_{n \to \infty} x_n, \exists \lim\limits_{n \to \infty} y_n$

那么, 我们由复合函数定理, 和连续性可知, $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} f(y_n) = f(c)$

由极限的不等关系可知 $f(x(n)) < 0 , f(y(n)) > 0$ $\implies$ $f(c) \leq 0 , f(c) \geq 0 \implies f(c) = 0$

考虑函数 $f(x) = 1/x$ 在开区间 $(1,0)$ 上连续，但既没有最大值, 也没有最小值.

所表述的连续函数的性质也与定义域的某种性质有关, 这种性质是

如果集合和覆盖由它的点的邻域组成, 则从该覆盖中可以取出有限覆盖.以后我们把这样的集合称为紧集. (有限覆盖性)

$\forall x \in X , \forall \epsilon>0 , \exist \delta>0 \text{ Let } f(x \pm \delta )_X \subset (f(x)\pm \epsilon)$

或者如下形式 $\forall x_1 \in X , \forall \epsilon>0 , \exist \delta>0 \forall x_2 \in X \text{ Let } (|x_1-x_2| < \delta \implies |f(x_1) -f(x_2)|<\epsilon)$

可以发现, 一致连续和连续的区别在于 全称量词 $\forall x_1 \in X$ 的位置不同

若有已知 $f$ 在定义域上一致连续 $\implies$ $f$ 在定义域上连续, 反之一般不成立

可否通过数理逻辑的形式证明?

错误证明

一个感性理解: 在连续下 , $\delta (a,\epsilon)$ 而在一致连续下 $\delta (\epsilon)$ 故, 条件更强

在闭区间上连续的函数 $\iff$ 在闭区间一致连续

这个命题的也是基于函数定义域的紧性得到的

我们主要关注 充分性的证明

总结上述规律, 上述替换规律如下

在形式上 总是量词拼接法则,

再总结换元命题要求