矩阵的秩

前置概念

线性等价

定义:能互相线性表示的两个向量组线性等价

性质

对称性: A线性等价B,B线性等价AA线性等价B,B线性等价AA线性等价B,B线性等价A﻿

反身性: A和自身线性等价A和自身线性等价A和自身线性等价﻿

传递性: ...

秩相等: 借助向量组间—−线性表示—线性无关定理借助 向量组间—-线性表示—线性无关定理借助向量组间—−线性表示—线性无关定理﻿

满足上面三条属性称为等价关系

三角形相似关系

同解的n次方程

同余运算

Modular Arithmetic

极大线性无关部分组

定义: 

线性等价的向量组器极大线性无关组的向量个数相同\\ (向量组等价\Rightarrow 秩相同)

给定向量空间K^m中一个向量组\\ \quad a_1,a_2,a_3...a_n \\ \quad 若有其中一个部分组 \\ \quad a_x,...a_y \\ \quad 满足 \\ \quad (1)向量组每个向量都能被线性表示\\ \quad (2)部分组线性无关

秩的定义

定义: 矩阵的秩为极大线性无关部分组的向量个数

秩相关定理

初等变换不改变秩

子证明1:初等行变换不改变行秩\\ 由于初等行变换后,\\ 向量组A和向量组A'均能互相线性表示(初等变换可逆),故秩不变\\ (对于行向量组而言,初等行变换A\rightarrow A'对应属于一个可逆线性表示,前后两个向量组等价,故得秩相等)\\

子证明2:初等行变换不改变列秩\\ 设有向量组A有元素a_1...a_n 其中有极大组A_r 有a_s..a_r\\ 则有变换后向量组A'有元素a_1'...a_n',原极大组A_r'对应有a_s'...a_r'\\ ①.a_s'...a_r'线性无关\\ 已知[0]=[A]\begin{bmatrix} x \\ \vdots \end{bmatrix}仅0解\\ 由线性方程组相关定理得初等变换后也一定为同解方程组,故也仅有0解\\ ~\\ \bold {Key(等价方程组\rightarrow 列向量组间线性关系不变)}\\ \bold{等价向量组\rightarrow可互相表示}\\ ~\\ ②.a_i'能被a_s'...a_r'线性表示\\ 已知[a_i]=[A]\begin{bmatrix} x \\ \vdots \end{bmatrix}有解\\ 则等价方程组定理得变换后线性关系不变,故可线性表示\\ ~\\ A'能被A_r'线性表示,且A_r'线性无关则有A_r'中向量个数=A_r向量个数=列秩不变

矩阵行秩等于列秩

由标准变换易得对于任意矩阵[A]\stackrel{a}{\longrightarrow}[E_n] 而[E_n]的秩为n故得证行秩等于列秩

方程组基础解系

基础解系定义

定义齐次线性方程组(1)的一组解向量\eta _ { 1 } ,\eta _ { 1 } ,, \eta _ { 2 },…,\eta _ { s }\\ 如果满足如下条件:\\ (i)\eta _ { 1 },\eta _ { 2 },…\eta _ { s }线性无关;\\ (ii)方程组(1)的任一解向量都可被\eta _ { 1 },\eta _ { 2 },…\eta _ { s }线性表示\\ ~\\ 则有一组基础解系的被\eta _ { 1 },\eta _ { 2 },…\eta _ { s }\\ \bold{Key:即解向量组的极大无关组为基础解系}

向量空间基本定理

如果向量组 \alpha _ { 1 },\alpha _ { 2 },…\alpha _ { 3 }\\ 线性无关,而向量β可被它线性表示,则表示法是唯一的

证:设有两种表示法① β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs② β=l1α1+l2α2+⋯+lsαs做差得:0=(k1−l1)α1+⋯(ks−ls)αs 由于α1⋯αs线性无关,故仅0解得k1=l1⋯故仅线性表示唯一证:设有两种表示法\\

①\ \beta = k _ { 1 } \alpha _ { 1 } + k _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \cdots + k _ { s }\alpha _ { s }\\

②\ \beta= l _ { 1 } \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \cdots + l _ { s } \alpha_{s}\\
做差得:0=(k_1-l_1)\alpha_1+ \cdots (k_s-l_s) \alpha_s\\
~\\
由于\alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } 线性无关,故仅0解\\

得k_1=l_1 \cdots 故仅线性表示唯一证:设有两种表示法① β=k1​α1​+k2​α2​+⋯+ks​αs​② β=l1​α1​+l2​α2​+⋯+ls​αs​做差得:0=(k1​−l1​)α1​+⋯(ks​−ls​)αs​ 由于α1​⋯αs​线性无关,故仅0解得k1​=l1​⋯故仅线性表示唯一﻿

推论1(矩阵形式)

\bold{b} = [A][k]若A线性无关则有b表示唯一

推论2(线性无关传递性)

若[B]=[A][k]且[A],[K]均线性无关,则[B]也线性无关\\ ~\\ 证明:\bold{b_1}=[A][\bold{k_1}]若有线性相关则有\\ \bold{b_1}=[\bold{b_2},\bold{b_3},\bold{b_4},\cdots,\bold{b_n}]\begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ \vdots \\ s_n \end{bmatrix}=[A][\bold{k_2},\bold{k_3},\bold{k_4},\cdots,\bold{k_n}]\begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ \vdots \\ s_n \end{bmatrix}\\=[A][\bold{k_1}]

0空间秩定理

若其次矩阵[A][K]=0则有R(A)+R(K)=n(未知量个数=列向量个数)\\ 证明:暂略(P109)\\ ~\\

基础解系求法

非其次线性方程理论

秩的运算定理

乘法定律

若[B]=[A][K]则有R(B)\le R(A)\\ ~\\ 证明:\textit{向量组间—-线性表示—线性无关定理} \\推得,暂略\\ ~\\ 推广:R(AB)小于R(A),小于R(B)

其二:设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵\\ R(AB) \geq R(A)+R(B)-n\\ ~\\ 证明:[C]=[A][B]\Rightarrow ①[C_i]=[A][B_i]\ (B_i为单列向量)\\. [C_i]=[C_r][k]\Rightarrow ②[C_i]=[A][B_{cr}][k]\ (k为单列向量,B_{cr}为向量组)\\ ~\\ 利用分块矩阵证明

加法定律

[A]=[\bold{a_1},\bold{a_2},\cdots,\bold{a_n}]\qquad [B]=[\bold{b_1},\bold{b_2},\cdots,\bold{a_n}] \\ 则有[A+B]=[\bold{a_1+b_1},\bold{a_2+b_2},\cdots,\bold{a_n+b_n}]\\ 显然由[A+B]=[A|B][k]\\ 故有R(A+B)\leq R(A|B) \leq r+s

增广定律

Min\{R(A),R(B)\}\leq R(A|B)\leq R(A)+R(B)\\ 证明:参考秩的向量组定义(极大无关向量组),自然得证

特殊矩阵

定义

定义:\\ 数域K上的n*n矩阵\\称为K上的n阶方阵K上全体n阶方阵所成的集合记做M_n(K)

数量阵

逆矩阵(−1运算^{-1}运算−1运算﻿)

定义对于n阶方阵A,B若有AB=BA=E则有AB互为可逆矩阵对于n阶方阵A,B若有AB=BA=E则有AB互为可逆矩阵对于n阶方阵A,B若有AB=BA=E则有AB互为可逆矩阵﻿

推论1:逆矩阵唯一性−−−(A−1)−1=A参见倒元素唯一性证明推论1:逆矩阵唯一性---(A^{-1})^{-1}=A
\\
参见倒元素唯一性证明推论1:逆矩阵唯一性−−−(A−1)−1=A参见倒元素唯一性证明﻿

推论2:(AB)−1=B−1A−1证明:ABB−1A−1通过结合律得证推论2:(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\
证明:ABB^{-1}A^{-1}通过结合律得证推论2:(AB)−1=B−1A−1证明:ABB−1A−1通过结合律得证﻿

初等变换

对应三种初等矩阵,且可逆

标准型基本定理

可逆矩阵基本定理

初等矩阵

nnn﻿阶对称阵

上下三角矩阵

分块矩阵

准对角阵