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实数理论
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实数理论
详细可见Math Analysis
实数的运算律及其扩充
数域
实数的运算律及其扩充
加法交换律 结合律 0元素
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
(a + b) + c = a + (b + c)
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
a
+
b
+
c
=
a
+
c
+
b
a + b + c = a + c + b
a
+
b
+
c
=
a
+
c
+
b
a
+
0
=
a
a + 0 = a
a
+
0
=
a
存在反元素使得
a
+
b
=
0
a + b = 0
a
+
b
=
0
乘法交换律 结合律 1元素
…
…
…
存在倒元素
a
b
=
1
ab = 1
ab
=
1
结合律
…
扩充定则
反元素 倒元素唯一性
E
Q
:
设若有则
c
≠
b
且有
c
+
a
=
0
,
b
+
a
=
0.
则有
c
=
0
+
c
=
a
+
b
+
c
=
(
a
+
c
)
+
b
=
b
和题目相悖故
c
=
b
恒成立
EQ: 设若有则c \neq b且有c+a=0,b+a=0 .\\ 则有c=0+c=a+b+c=(a+c)+b=b和题目相悖故c=b恒成立
EQ
:
设若有则
c
=
b
且有
c
+
a
=
0
,
b
+
a
=
0.
则有
c
=
0
+
c
=
a
+
b
+
c
=
(
a
+
c
)
+
b
=
b
和题目相悖故
c
=
b
恒成立
同理有仅一解
a
b
=
1
ab = 1
ab
=
1
0
∗
a
=
0
0 * a = 0
0
∗
a
=
0
E
Q
:
.
.
.
EQ : ...
EQ
:
...
数域
定义:若K为复数构成的子集,且满足K中元素对$+ - * / $封闭则称K为一个数域
常见数域:
C
R
Q
\mathbb C\ \mathbb R\ \mathbb Q
C
R
Q
(
C
\mathbb C
C
为复数)
扩展定理
任何数域包含有理数数域为
K
设
a
∈
K
则有
a
−
a
=
0
∈
K
,
a
a
=
1
⊂
K
则有
N
⊂
K
则有
Q
⊂
K
任何数域包含有理数 数域为K设a \in \\K则有a-a=0\in K,\frac{a}{a}=1\subset K \\则有N\subset K 则有Q\subset K
任何数域包含有理数数域为
K
设
a
∈
K
则有
a
−
a
=
0
∈
K
,
a
a
=
1
⊂
K
则有
N
⊂
K
则有
Q
⊂
K
