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数理逻辑 专题 摘录
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数理逻辑 专题 摘录
命题逻辑
命题的几种表述
定理: 恒为真的命题
性质: 和定理一致
逗号往往和And的意思相同
(X,Y⊂R)≡(X⊂R)∧(Y⊂R)(X,Y\subset R) \equiv (X\subset R)\land(Y\subset R)
函数的 命题逻辑表述
谓词逻辑下 ,各种命题的拼接
🤔 极限命题中的等价替换 我们何时可以替换? 替换的条件是什么? [数理逻辑]
📐区间连续的换元命题推广
我们取 g:R+→R+g: R_+ \to R_+
∀a∈X,∀ϵ>0,∃δ>0, Let f(a±δ)X⊂(f(a)±ϵ)\forall a \in X , \forall \epsilon >0 , \exist \delta>0 , \text{ Let } f(a \pm \delta)_X \subset (f(a) \pm \epsilon)
取换元命题为 ∀δ>0,∃δ1, Let g(δ)=δ1\forall \delta >0 , \exist \delta_1 , \text{ Let } g(\delta) = \delta_1
不妨设 g:R+→R+g : R_+ \to R_+  的双射, 那么有 f(δ1)=g−1(δ1)=δf( \delta_1) = g^{-1}( \delta_1) = \delta
我们可以推导得到 ∀a∈X,∀ϵ>0,∃δ1>0, Let f(a±f(δ1))X⊂(f(a)±ϵ)\forall a \in X , \forall \epsilon >0 , \exist \delta_1>0 , \text{ Let } f(a \pm f(\delta_1))_X \subset (f(a) \pm \epsilon)
我们取 f=x/2f = x/2 则有 ∀a∈X,∀ϵ>0,∃δ1>0, Let f(a±δ1/2)X⊂(f(a)±ϵ)\forall a \in X , \forall \epsilon >0 , \exist \delta_1>0 , \text{ Let } f(a \pm \delta_1/2)_X \subset (f(a) \pm \epsilon)
📐 同时我们如下这个例子
由于闭区间上连续, ∀a∈X,∀ϵ>0,∃δ>0, Let f(a±δ)X⊂(f(a)±ϵ)\forall a \in X , \forall \epsilon >0 , \exist \delta>0 , \text{ Let } f(a \pm \delta)_X \subset (f(a) \pm \epsilon) 
我们符号替换 ϵ=ϵ′/2\epsilon = \epsilon'/2 得到 ∀a∈X,∀ϵ/2>0,∃δ>0, Let f(a±δ)X⊂(f(a)±ϵ/2)\forall a \in X , \forall \epsilon/2 >0 , \exist \delta>0 , \text{ Let } f(a \pm \delta)_X \subset (f(a) \pm \epsilon/2)
同时我们有 ∀ϵ>0,∃t>0, Let t=ϵ/2  ⟺  ∀ϵ>0,∃ϵ/2>0(True)\forall \epsilon >0 , \exists t>0 , \text{ Let }t = \epsilon /2 \iff \forall \epsilon > 0 , \exists \epsilon/2>0 (True) 
上下表达式相拼接得到 ∀a∈X,∀ϵ>0,∃δ>0, Let f(a±δ)X⊂(f(a)±ϵ/2)\forall a \in X , \forall \epsilon >0 , \exist \delta>0 , \text{ Let } f(a \pm \delta)_X \subset (f(a) \pm \epsilon/2)
总结上述规律, 上述替换规律如下
📐假设对于一个 一对多函数命题进行推广 ∃…\exist \dots  推广
假设初始命题∀a∈A,∃b∈B,P(a,b)\forall a \in A , \exist b \in B , P(a,b) 
且有替换关系 ∀b∈B,∃c∈C, Let f(b)=c\forall b \in B , \exist c \in C , \text{ Let } f(b) = c 
那么有 ∀a∈A,∃b∈B,∃c∈C, Let P(a,b)∧f(b)=c\forall a \in A , \exist b \in B , \exist c \in C , \text{ Let } P(a,b) \land f(b) = c
若有 ff  为双射, 那么有 P(a,b)∧b=f−1(c)  ⟹  P(a,f−1(c))P(a,b) \land b = f^{-1}(c) \implies P(a, f^{-1}(c)) 
最后我们令 f−1=g,g−1=ff^{-1} = g , g^{-1} = f  则有∀a∈A,∃b∈B,∃c∈C, Let P(a,b=g(c))\forall a \in A , \exist b \in B , \exist c \in C , \text{ Let } P(a,b = g(c)) 
可以发现, 如果需要推广 ∃…P(… )\exist \dots P(\dots) 约束的变量, 那么有, 我们需要一个双射约束.
📐假设对于一个 一对多函数命题进行推广 ∀…\forall \dots  推广
∀a∈A,∃b∈B,P(a,b)\forall a \in A , \exist b \in B , P(a,b) 
∀a∈A,∃c∈C, Let f(a)=c\forall a \in A , \exist c \in C , \text{ Let } f(a) = c 
此时二者仍然没法整合, 我们需要 ∀d∈D,∃a∈A, Let g(d)=a\forall d \in D , \exist a \in A , \text{ Let } g(d) = a 
即 g:D→A Or g:D→A′⊂Ag: D \to A \text{ Or } g : D \to A' \subset A
此时有 ∀d∈D,∃b∈B Let P(g(d),a)\forall d \in D , \exist b\in B \text{ Let } P(g(d),a)
一个特例是 g:A→(A Or A′⊂A)g: A \to (A \text{ Or } A' \subset A)
我们有 ∀a∃bP(a,b)  ⟹  ∀a∃bP(g(a),b)\forall a \exist bP(a,b) \implies \forall a \exist bP(g(a),b)  当 g:A→(A Or A′⊂A)g: A \to (A \text{ Or } A' \subset A) 时候 我们最常见的形式
在形式上 总是量词拼接法则,
即 ∀a,∃b…\forall a ,\exist b \dots  同 ∀b,∃c…\forall b , \exist c \dots 拼接得到 ∀a,∃c\forall a , \exist c
再总结换元命题要求
…∃c…P(c,… )\dots \exist c \dots P(c, \dots) 需要一个 ∀c∃d,G(c,d)\forall c \exist d ,G(c,d) 的换元复合命题 若 G(c,d):=g(c)=dG(c,d) := g(c) = d 那么有 g:C Or Cplus→Dg: C \text{ Or } C_{plus} \to D
…∀c…P(c,… )\dots \forall c \dots P(c,\dots) 需要一个 ∀d∃c,G(c,d)\forall d \exist c ,G(c,d) 的换元复合命题 若 G(c,d):=g(d)=cG(c,d) := g(d) = c 那么有 g:D→C Or Cminusg: D \to C \text{ Or } C_{minus}
其中 CplusC_{plus}  定义为 C⊂CplusC \subset C_{plus}  而 CminusC_{minus}  定义为 Cminus⊂CC_{minus} \subset C
换元结果为
…∃d…P(c,… )∧g(c)=d Or More\dots \exist d \dots P(c, \dots) \land g(c) = d \text{ Or More} 
…∀d…P(c,… )∧g(d)=c Or More\dots \forall d \dots P(c, \dots) \land g(d) = c \text{ Or More}