五[附录].计数和概率

五[附录].计数和概率

一.集合论和集合运算符

计数原理的本质: 从不同的集合中抽取元素构造新的集合

扩增集合论运算符: 为了方便描述集合(样本空间)之间的关系

传统中集合运算只有 ∩∪\cap\quad \cup∩∪﻿

我们不妨扩增下集合论的运算符

令A+B=A∪BA+B=A\cup BA+B=A∪B﻿ AB=A∩B\quad AB=A\cap B AB=A∩B﻿

扩增一个减法运算符A−B=A(Bc) \quad A-B=A(B^c) A−B=A(Bc)﻿

同时令 A⊂B  ⟺  A<BA \subset B \iff  A<BA⊂B⟺A<B﻿     A⊃B  ⟺  A>BA \supset B \iff A>BA⊃B⟺A>B﻿ 

二.计数函数(计数原理)

扩增了这么多集合运算符之后,接下来可以从已有的集合中构造新集合

计数函数Cnt(A)Cnt(A)Cnt(A)﻿ : 类似于概率函数Pr(A) 为一个集合(样本空间)到正整数的映射,映射规则为 集合中元素的个数

计数原理的拓展

所有关于Cnt()函数的性质我们都可以称作广义上的计数原理

但是课本上只将一部分的 新集合的构造方法 所 对应的解答作为计数原理

即便刚刚扩充了很多集合运算符,但没办法通过 符号 构造出所有所需的新集合, 比如新集合为旧集合的有序对,所以还是很受限,非常依赖文字表述

狭义计数原理

加法规则: 若A与B不相交(AB=∅AB=\emptyAB=∅﻿) 则有Cnt(A+B)=Cnt(A)+Cnt(B)Cnt(A+B) = Cnt(A)+ Cnt(B)  Cnt(A+B)=Cnt(A)+Cnt(B)﻿ 

乘法规则

乘法(组合)规则: 若A与B不相交(AB=∅AB=\emptyAB=∅﻿) 若定义新集合C中元素为,A和B中元素构成的有序二元组.则有Cnt(C)=Cnt(A)∗Cnt(B)Cnt(C) = Cnt(A) * Cnt(B)  Cnt(C)=Cnt(A)∗Cnt(B)﻿ 

乘法(自然)规则: 当我们看见计数中出现5*4中不一定是以Cnt(A)∗Cnt(B)Cnt(A) * Cnt(B)Cnt(A)∗Cnt(B)﻿ 的意义出现,可能是有多次加法规则 Cnt(A+B+C)=Cnt(A)+Cnt(B)+...Cnt(A+B+C) = Cnt(A)+ Cnt(B) +...Cnt(A+B+C)=Cnt(A)+Cnt(B)+...﻿ 其中各个CntCntCnt﻿大小一致,自然运用了乘法.,不要太过于死板

空规则: C=∅C=\emptyC=∅﻿   Cnt(C)=0Cnt(C) = 0Cnt(C)=0﻿

排列规则: 通过从同一集合中选取k个元素,构成有序排列AnkA_n^kAnk​﻿ 

组合规则: 通过从同一集合中选取k个元素,构成有序排列CnkC_n^kCnk​﻿

广义计数原理

广义减法原理: Cnt(A−B)=Cnt(A)−Cnt(AB)=Cnt(A)−Cnt(B)Note:B⊂ACnt(A-B) = Cnt(A) - Cnt(AB) = Cnt(A)-Cnt(B)\\ Note:B\subset ACnt(A−B)=Cnt(A)−Cnt(AB)=Cnt(A)−Cnt(B)Note:B⊂A﻿ 

除法(自然归并)原理

计数原理是各种各样的,本质只是计数,不能太过死板

计数技巧

三.概率函数(概率公理化)

概率论公理化

概率函数Pr{A} 和计数函数Cnt(A)Cnt(A)Cnt(A)﻿有许多相似之处

二者不同点: 鉴于不同之处比较少,先介绍不同点

Cnt(A)Cnt(A) Cnt(A)﻿为 可数有限集合⇒自然数 Pr{A} 为 任意集合⇒[0,1]实数

概率函数中概念变多了: 

条件概率→独立性,贝叶斯

必然事件/可不能事件→概率1/0

概率公理化定义

...

四.随机变量和分布函数

引入的目的

概率函数只完成了 集合→实数的映射

而随机变量完成了 数(整数/实数)→集合的映射

这样就有 数(整数/实数)→集合→实数 变成了一般函数(即概率分布函数),当作一般函数处理求导/差分 则构成了概率密度函数

其中两轮映射都有着一些规定和性质 最后构成了概率分布/密度函数的一些性质