下取整: floor $\lfloor a \rfloor <a$ 上取整: ceil $\lceil a \rceil >a$

 一般的取整函数: $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 即,一般上我们视 $[x] = \lfloor x \rfloor$

定义取小数函数 $\{x\} = x-[x]$ 那么有取小数函数周期为$1$

可以想象成针对实数的取模函数, 都是把原来的数截取一部分

$\frac{1}{\lceil1/\epsilon\rceil} \ ?\ \frac{1}{1/\epsilon}$ ,我们解决这个问题, 只需要将取整作为函数, 分析各级函数的单调性

对于只有一个变量的含取整函数的表达式, 都可以靠分析单调性

只需要知道: $\lceil a \rceil >a$ 且 $\frac{1}{n}$ 单调递减, 所以 $\frac{1}{\lceil1/\epsilon\rceil} \ <\ \frac{1}{1/\epsilon}$

推导中使用: $[x] = x-\{x\}$ 可以导出大部分规律

基本性质: $x - 1 < [x] \leq x < [x] + 1$

单调性: $x_1 < x_2 \implies [x_1] \leq [x_2]$

加法透明性: $x_2 \in N,[x_1]+x_2 = [x_1+x_2]$

加法透明性可以直接导出类三角不等式性 $[x_2] \leq x_2 \implies [x_1]+[x_2] \leq [x_1] +x_2 = [x_1+x_2]$

类三角不等式推广: $[x_1]+[x_2] \leq [x_1+x_2] \implies \{x_1\}+\{x_2\}\geq\{x_1+x_2\}$

理解: $\{x_1\}+\{x_2\}\geq\{x_1+x_2\}$ 绝大部分时刻 都在类似 $y = x$ 上曲线上, 故$\{x_1+x_2\}$ 最好也就和 $\{x_1\}+\{x_2\}$ 相等

$\lceil x \rceil = [x]+1= x+1-\{x\} \quad (x \neq Z)$

$\lfloor - a \rfloor = -\lceil a \rceil \iff -\lfloor a \rfloor = \lceil a \rceil \iff True$

$\lceil\frac { N } { M }\rceil = \lfloor \frac{N-1}{M} \rfloor\left( 0 < M \leqslant N \quad M , N \in Z \right)$