由于周期数列 我们有 $n\frac{\int_0^{\pi}|sinx|dx}{(n+1)\pi}$

注意到 分子的积分显然已经是一个常数了 为2

即求 $\frac{2n}{(n+1)\pi}$ 的极限 为 $\frac{2}{\pi}$

分子分母取极限都是 $\infty$

洛必达法则 $org = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{sin(n\pi)}{(n+1)\pi} = 0/\pi = 0$

洛必达的要求, 原函数在去心邻域内可导

对于数列而言,无所谓去心邻域,其定义域为 $\mathbb{N}$

真要求, 我们需要将数列转换到表达式一样的函数

那么我们有 $f(x)=\frac{\int_0^{x\pi}|sink|dk}{(x+1)\pi}$ 洛必达后

$org = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{sin(x\pi)}{\pi}$

分子不再恒等于0了, 自然就无法用洛必达解

即 $\text{ IF f(x) Have Limits },\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) =A \iff \lim\limits_{x \rightarrow \infty} x_n =A$

但是, 如果知道 $x_n$ 存在极限, 并不能保证 $f(x)$ 也有极限. 但是 我们可以容易知道 , 若 $f(x)$ 极限存在, 必然和 $x_n$极限值一致

我们仿照数列和子数列的概念 , 构造子函数的概念

子函数: 将函数视作集合, 那么子函数就是原函数的子集

函数的序列化: 将函数在 $\mathbb{N}$ 上的取值作为函数的序列化

那么我们有: 函数的序列化也是函数的子集, 函数序列化也是一个子函数

思考: 仅仅是子集是不够的, 我们还希望定义集仍然含有无穷多的元素

由数列极限和其子序列一致可得, 函数极限和子函数(序列)极限也相等

我们可以取每个周期上某个相同的点

但是极限无法用洛必达法则求出, 因为洛到后面出现周期函数, 而不是不定式

我们 $f(x)=\frac{\int_0^{x\pi}|sink|dk}{(x+1)\pi}$ 如果假设这个东西有极限

则有 $org = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{sin(x\pi)}{\pi}$

我们取 $x= n\pi$ 和 $x=n\pi+\pi/2$ , 构造了两种子函数, 显然极限不相等

我们有原函数的极限不存在