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概率公理化

定义:

引入特殊集合\Omega 称作样本空间,其中元素\omega 称作样本点(基本事件)\\ ~\\ 引入定义在\Omega 上函数P(A),满足: \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ ①规范性:P(\Omega)=1\\ ②非负有界:0 \leq P(A)\leq 1\\ ③可列可加性:若A\cap B=\varnothing,则P(A\cup B)=P(A)+P(B)

推论

第二加法公式:P(A+B)=P(AB′)+P(B)=P(A−B)+P(B)略证... 推论1:P(∅)=0证略... 推广1:全加法公式:构造A∪B=A∪(B−AB)且有A与(B−AB)不相容利用有限加法公式得P(A+B)=P(A)+P(B−AB)满足减法公式条件得P(B−AB)=P(B)−P(AB)综上得证 推广2:容斥定理:略...第二加法公式:\\
P(A+B)=P(AB')+P(B)=P(A-B)+P(B)\\ 略证...\\
~\\
推论1:P(\varnothing)=0 证略...\\
~\\
推广1:全加法公式:\\
构造A\cup B=A\cup(B-AB)\\
且有A与(B-AB)不相容\\
利用有限加法公式得P(A+B)=P(A)+P(B-AB)\\
满足减法公式条件得P(B-AB)=P(B)-P(AB)\\
综上得证\\
~\\
推广2:容斥定理: 略...第二加法公式:P(A+B)=P(AB′)+P(B)=P(A−B)+P(B)略证... 推论1:P(∅)=0证略... 推广1:全加法公式:构造A∪B=A∪(B−AB)且有A与(B−AB)不相容利用有限加法公式得P(A+B)=P(A)+P(B−AB)满足减法公式条件得P(B−AB)=P(B)−P(AB)综上得证 推广2:容斥定理:略...﻿

减法性质:若A⊃B则P(AB′)=P(A)−P(B)同时记AB′为A−B证明:由第二加法公式得P(AB′)=P(A+B)−P(B)且有A⊃B得P(A+B)=P(A),带入得证减法性质:若A \supset B 则P(AB')=P(A)-P(B)\\
\qquad\qquad\quad同时记AB'为A-B\\
证明:\\
\qquad\quad 
由第二加法公式得P(AB')=P(A+B)-P(B)\\
\qquad\quad 
且有A\supset B 得P(A+B)=P(A),带入得证减法性质:若A⊃B则P(AB′)=P(A)−P(B)同时记AB′为A−B证明:由第二加法公式得P(AB′)=P(A+B)−P(B)且有A⊃B得P(A+B)=P(A),带入得证﻿

减法性质推广:①单调不减性:若A⊃B则P(A)≥P(B)②全减法公式:P(A−B)=P(A)−P(AB)证明1:A−(AB)=A∩(AB)′=∅+AB′=AB′且有A⊃AB带入减法公式得证证明2:第二加法移项公式得证减法性质推广:\\
①单调不减性:若A \supset B 则P(A)\geq P(B)\\
②全减法公式:\\
P(A-B)=P(A)-P(AB)\\
证明1:\\
A-(AB)=A\cap(AB)'=\varnothing+AB'=AB'\\
且有A\supset AB 带入减法公式得证\\
证明2:第二加法移项公式得证减法性质推广:①单调不减性:若A⊃B则P(A)≥P(B)②全减法公式:P(A−B)=P(A)−P(AB)证明1:A−(AB)=A∩(AB)′=∅+AB′=AB′且有A⊃AB带入减法公式得证证明2:第二加法移项公式得证﻿

全减法公式应用:全减法公式应用:全减法公式应用:﻿

条件概率

定义:

若有P(B)>0,则定义P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\\ 可以证明其满足三条概率公理,证略...\\ ~\\ \bold{Key:P(B)>0}

全概率公式

定义

设完备事件组A_1,A_2\cdots \\ 则有P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2) \cdots

贝叶斯公式

定义

设完备事件组A_1,A_2\cdots \\ P(A_i|B)=\frac{P(A_i|B)*P(A_i)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2) \cdots}

事件独立性

定义

若有P(AB)=P(A)*P(B)则有事件A、B独立

极端事件的条件公式(极端事件独立性)

法一: \qquad\qquad 若有P(B)=1,P(B')=0 \qquad\qquad\qquad\qquad\\ 则有P(AB)=P(A)-P(AB')\\ 且有P(AB')\leq P(B')=0(单调不减性)\\ 则有P(AB)=P(A)=P(A)*1=P(A)*P(B)\\ ~\\ 当P(B)=0时,显然有P(AB)\leq P(B)=0=P(B)*P(A)\\ ~\\ \bold{Key:P(AB)=P(A)-P(AB')全减法公式/第二加法的变形}\\ \bold{第二乘法公式}

A独立于B,则A′,A独立于B,B′A独立于B,则A',A独立于B,B'A独立于B,则A′,A独立于B,B′﻿

\bold{Key:利用全减法公式}\\ ~\\ 设P(AB)=P(A)P(B)\\ 则P(AB')=P(A)-P(AB)\\ =P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B')\\ 得证...其他情况略

随机变量

定义

将\Omega 样本空间,中元素\omega 映射到一个数集上\\ 且每个\omega 有唯一对应的数,则称

概率公理—-F(x)分布函数F(x)分布函数F(x)分布函数﻿对应关系

规范性P(Ω)−−−lim⁡X→∞F(x)=1规范性P(\Omega)---\lim\limits_{X\rightarrow \infin} F(x)=1
规范性P(Ω)−−−X→∞lim​F(x)=1﻿

有界性0≤P(A)≤1−−−0≤F(x)≤1有界性0 \leq P(A)\leq 1---0 \leq F(x)\leq 1有界性0≤P(A)≤1−−−0≤F(x)≤1﻿

部分可加性−−−右连续的证明部分可加性---右连续的证明部分可加性−−−右连续的证明﻿

常见分布

离散型

连续型

定义

分布函数为F \left( x \right),如果存在非负函数f \left( x \right),使得对任意的实数x \\都有F \left( x \right) = P \left( X \leqslant x \right) = \int_{-\infin}^{ x} f \left( t \right) d t

扩充性质

P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx推论1:P(X=x0)=0P(a\leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) dx\\

推论1:P(X=x_0)=0P(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx推论1:P(X=x0​)=0﻿

F(x)在R上连续F(x)在R上连续F(x)在R上连续﻿

二维离散

二维连续